אריתמטיקה של גבולות

גבולות של פעולות אריתמטיות פשוטות בין פונקציות שיש להן גבול בפני עצמן

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות (לעיתים בר"ת: אש"ג) הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות.

אריתמטיקה של גבולות סופיים

עריכה

תהיינה  ו-  פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של   שעבורן קיימים הגבולות הסופיים   ו- .

בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:

כלל הסכום

עריכה

הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:

 

כלל המכפלה

עריכה

הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:

 

אם נבחר בפונקציה  , קבוע, יתקבל המקרה הפרטי  . בפרט   ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות.

כלל המנה

עריכה

הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש:  , כלומר:

 

כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר  .

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

עריכה

תהיינה  ו-  פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של   שעבורן מתקיים:

  •  .
  •  , כאשר   (כלומר מספר סופי).

בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:

  •  .
  •  .
  •  .
כאשר   מתקיים:
  •  .
וכאשר   מתקיים:
  •  .

כאשר   לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול   מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של " " ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.

כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר  .

תהי   פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של   שעבורה מתקיים:

  •  .
  • קיימת סביבה מנוקבת של   בה מתקיים  .

בתנאים אלו מתקיים:

  •  .

הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של   בה מתקיים   ובמקרה הזה הגבול הוא  .

תהיינה  ו-  פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של   שעבורן מתקיים:

  •  .
  •  .

בתנאים אלו מתקיים :

  •  .

גם כלל זה תקף כאשר  .

גבול של הרכבת פונקציות

עריכה

אם  ו-  פונקציות שעבורן   וכן גם   (עבור   כלשהם),

ומתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים (1)   (כלומר   רציפה ב  ) (2)   בסביבה מנוקבת של  

אז הגבול של הרכבת הפונקציות   בנק'   קיים ושווה ל-   .

הוכחות

עריכה

הוכחת כלל הסכום

עריכה

נסמן ב-  וב-  את הגבולות של   ושל   בהתאמה. יהי  . יש להוכיח כי קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים  .

מהנתונים על הגבולות של  ו-  נסיק כי:

  • קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים   (1).
  • קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים   (2).

נבחר את   להיות  . לפי אי-שוויון המשולש:

 .

מכאן ש-  .

הוכחת כלל המכפלה

עריכה

יהי  . יש להוכיח כי קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים  . נגדיר  .

מהנתונים על הגבולות של  ו-  נסיק כי:

  • קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים  
  • קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים  

נבחר את   להיות  . יהי   המקיים  . נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי:

       

כלומר, הראינו שאם   מקיים   אזי  , ומכאן נובע כלל המכפלה.

הוכחת כלל ההרכבה

עריכה

נוכיח במקרה בו   רציפה.

יהי  . נתון ש-  רציפה בנקודה  , לכן קיים   כך שלכל   המקיים   (כולל  ) מתקיים   (1).

  ולכן קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים   (2).

מ-(2) נסיק כי לכל   המקיים   מתקיים   ולכן עבור   נקבל מ-(1) כי  , כנדרש.

במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש- , ולכן נבחר   קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו   כפי שרצינו.