אריתמטיקה של גבולות

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות.

אריתמטיקה של גבולות סופייםעריכה

תהיינה  ו-  פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של   שעבורן קיימים הגבולות הסופיים   ו- .

בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:

כלל הסכוםעריכה

הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:

 

כלל המכפלהעריכה

הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:

 

אם נבחר בפונקציה  , קבוע, יתקבל המקרה הפרטי  . בפרט   ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות.

כלל המנהעריכה

הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש:  , כלומר:

 

כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר  .

אריתמטיקה של גבולות אינסופייםעריכה

תהיינה  ו-  פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של   שעבורן מתקיים:

  •  .
  •  , כאשר   (כלומר מספר סופי).

בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:

  •  .
  •  .
  •  .
כאשר   מתקיים:
  •  .
וכאשר   מתקיים:
  •  .

כאשר   לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול   מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של " " ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.

כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר  .

תהי   פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של   שעבורה מתקיים:

  •  .
  • קיימת סביבה מנוקבת של   בה מתקיים  .

בתנאים אלו מתקיים:

  •  .

הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של   בה מתקיים   ובמקרה הזה הגבול הוא  .

תהיינה  ו-  פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של   שעבורן מתקיים:

  •  .
  •  .

בתנאים אלו מתקיים :

  •  .

גם כלל זה תקף כאשר  .

גבול של הרכבת פונקציותעריכה

אם  ו-  פונקציות שעבורן   וכן גם   (עבור   כלשהם),

ומתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים (1)   (כלומר   רציפה ב  ) (2)   בסביבה מנוקבת של  

אז הגבול של הרכבת הפונקציות   בנק'   קיים ושווה ל-   .

הוכחותעריכה

הוכחת כלל הסכוםעריכה

נסמן ב-  וב-  את הגבולות של   ושל   בהתאמה. יהי  . יש להוכיח כי קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים  .

מהנתונים על הגבולות של  ו-  נסיק כי:

  • קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים   (1).
  • קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים   (2).

נבחר את   להיות  . לפי אי-שוויון המשולש,  . מכאן ש-  .

הוכחת כלל המכפלהעריכה

יהי  . יש להוכיח כי קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים  . נגדיר  .

מהנתונים על הגבולות של  ו-  נסיק כי:

  • קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים  
  • קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים  

נבחר את   להיות  . יהי   המקיים  . נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי:

       

כלומר, הראינו שאם   מקיים   אזי  , ומכאן נובע כלל המכפלה.

הוכחת כלל ההרכבהעריכה

נוכיח במקרה בו   רציפה.

יהי  . נתון ש-  רציפה בנקודה  , לכן קיים   כך שלכל   המקיים   (כולל  ) מתקיים   (1).

  ולכן קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים   (2).

מ-(2) נסיק כי לכל   המקיים   מתקיים   ולכן עבור   נקבל מ-(1) כי  , כנדרש.

במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש- , ולכן נבחר   קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו   כפי שרצינו.