בעיית ברוקר

בעיות פתוחות במתמטיקה: האם למשוואה $n!+1=m^{2}$ פתרונות שלמים מלבד $n=4,5,7$? (בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

בעיית ברוקר היא בעיה מתמטית בתורת המספרים, המבקשת למצוא ערכים שלמים של n ו-m שעבורם:

$n!+1=m^{2}$

כאשר n! הוא n עצרת. האתגר פורסם על ידי אנרי ברוקר בצמד מאמרים בשנים 1876 ו- 1885, ובאופן עצמאי בשנת 1913 על ידי סריניבאסה ראמאנוג'אן.

מספרי בראון

זוגות המספרים (n, m) הפותרים את בעייתו של ברוקר נקראים מספרי בראון. נכון למאי 2021, ישנם רק שלושה זוגות ידועים של מספרי בראון:

(4,5), (5,11) ו- (7,71).

המתמטיקאי פאול ארדש שיער כי אין פתרונות אחרים. אוברהולט (1993) הצליח להוכיח כי ישנו מספר סופי של פתרונות, אך זאת בתנאי שהשערת abc נכונה. ברנדט וגלאוויי (2000) ביצעו חישובים עבור ערכי n עד 10⁹ ולא מצאו פתרונות נוספים. מטסון (2017) האריך זאת בשלושה סדרי גודל לטריליון אחד. אפשטיין וגליקמן (2020) הרחיבו את מרחב החיפוש בשלושה סדרי גודל (עד קוודריליון אחד) והראו שאין במרחב זה פתרון נוסף.

גרסאות נוספות של הבעיה

דברובסקי (1996) הכליל את הבעיה על ידי כך שהראה כי מהשערת abc יוצא כי עבור כל:

$n!+A=k^{2}$

יש רק מספר פתרונות סופי, עבור כל מספר שלם A. תוצאה זו הוכללה עוד יותר על ידי לוקה (2002), שהראה (שוב בהנחה של השערת abc) כי למשוואה:

$n!=P(x)$

יש רק מספר סופי של פתרונות עבור פולינום P(x) נתון של מסדר שני לפחות עם מקדמים שלמים.

לקריאה נוספת

• Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), "The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²" (PDF), The Ramanujan Journal, 4: 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276.
• Brocard, H. (1876), "Question 166", Nouv. Corres. Math., 2: 287.
• Brocard, H. (1885), "Question 1532", Nouv. Ann. Math., 4: 391.
• Dabrowski, A. (1996), "On the Diophantine Equation x! + A = y²", Nieuw Arch. Wisk., 14: 321–324.
• Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository.
• Guy, R. K. (1994), "D25: Equations Involving Factorial", Unsolved Problems in Number Theory (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 193–194, ISBN 0-387-90593-6.
• Luca, Florian (2002), "The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt" (PDF), Glasnik Matematički, 37 (57): 269–273.
• Matson, Robert (2017), "Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues" (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2018-10-06, נבדק ב-2017-05-07.
• Overholt, Marius (1993), "The diophantine equation n! + 1 = m²", Bull. London Math. Soc., 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104.

קישורים חיצוניים

• בעיית ברוקר, באתר MathWorld (באנגלית)