ברכיסטוכרון

עקומת הירידה המהירה ביותר

ברכיסטוכרון הוא עקומה העונה לבעיה הבאה: בהינתן נקודות a ו-b, כאשר a איננה מתחת ל-b, יש למצוא את צורתו של התיל שחרוז המחליק לארכו ללא חיכוך יגיע מ-a ל-b בזמן הקצר ביותר. תנועת החרוז מושפעת רק מכוח כבידה קבוע (ללא חיכוך). המילה "ברכיסטוכרון" היא הלחם שמקורו יוונית (βράχιστος χρόνος), ומשמעותו "הזמן הקצר ביותר".

הקו האדום פותר את בעיית הברכיסטוכרון

פתרון הבעיהעריכה

אף כי המרחק הקצר ביותר בין a ל-b הוא הקו הישר המחבר ביניהן, תנועה בקו ישר אינה מנצלת ביעילות את האנרגיה הפוטנציאלית של החרוז לצורך הגברת המהירות שלו. האינטואיציה הפיזיקלית מובילה לכן למסקנה שצורת התיל צריכה להיות קמורה כלפי מטה. פתרון הבעיה באמצעות חשבון וריאציות מראה שהצורה המבוקשת היא ציקלואידה.

היסטוריהעריכה

ניסיון לפתור את הבעיה נעשה כבר בשנת 1638 על ידי גלילאו גליליי, אך הוא שגה וטען כי הפתרון הוא קשת של מעגל. הבעיה הוצגה בשנית על ידי המתמטיקאי יוהאן ברנולי בגיליון יוני 1696 של כתב העת Acta Eruditorum,[1] וכשנה לאחר מכן פורסמו פתרונות שונים של חמישה מתמטיקאים: יוהאן ברנולי עצמו, אחיו יאקוב ברנולי, אייזק ניוטון, גוטפריד לייבניץ והמרקיז דה לופיטל.[2] ניוטון פתר את הבעיה בתוך לילה אחד בלבד, ושלח את פתרונו בעילום שם לברנולי. האגדה מספרת כי ברנולי העיר על הפתרון "מן העקבות מזהים את האריה".[3]

בפיתרונו השתמש יוהאן ברנולי בניתוח בעיית הטאוטוכרון, שנפתרה על ידי כריסטיאן הויגנס בשנת 1659. אחיו יאקוב, שהיה איתו בתחרות מתמדת, ניסח את בעיית הברכיסטוכרון בגרסה שונה ומורכבת יותר, ופתרונו לבעיה זו הביא אותו לפתח שיטות אנליטיות חדשות. שיטות אלה לוטשו מאוחר יותר על ידי לאונרד אוילר והפכו למה שנקרא חשבון וריאציות.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא ברכיסטוכרון בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Johann Bernoulli, "Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur.", Acta Eruditorum 18, June 1696, p. 269.
  2. ^ Jeanne Pfeiffer, Jacob Bernoulli, teacher and rival of his brother Johann, Journal Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique, November 2006, pp. 14-15
  3. ^ William Dunham, Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics, Wiley, 1990, עמ' 199–202