גאורג קנטור

מתמטיקאי גרמני

גאורג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטורגרמנית: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor;‏ 3 במרץ 18456 בינואר 1918) היה מתמטיקאי גרמני, אבי תורת הקבוצות העומדת בבסיס המתמטיקה המודרנית.

גאורג קנטור
Georg Cantor
לידה 3 במרץ 1845
האימפריה הרוסיתהאימפריה הרוסית סנקט פטרבורג, רוסיה
פטירה 6 בינואר 1918 (בגיל 72)
הקיסרות הגרמניתהקיסרות הגרמנית האלה, גרמניה
שם לידה George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor עריכת הנתון בוויקינתונים
ענף מדעי מתמטיקה
מקום מגורים האימפריה הרוסית, הרייך הגרמני עריכת הנתון בוויקינתונים
מקום לימודים
מנחה לדוקטורט ארנסט קומר, קארל ויירשטראס עריכת הנתון בוויקינתונים
מוסדות אוניברסיטת האלה-ויטנברג עריכת הנתון בוויקינתונים
תלמידי דוקטורט Alfred Barneck עריכת הנתון בוויקינתונים
פרסים והוקרה מדליית סילבסטר (1904) עריכת הנתון בוויקינתונים
בן או בת זוג Vally Cantor עריכת הנתון בוויקינתונים
תרומות עיקריות
אבי תורת הקבוצות
לעריכה בוויקינתונים שמשמש מקור לחלק מהמידע בתבנית

ביוגרפיה

עריכה

גאורג קנטור נולד בסנקט פטרבורג, בירת האימפריה הרוסית, כבן בכור מבין שישה ילדים. אביו, גאורג ווֹלדמר קנטור, היה אזרח דני, בן של הסוחר יעקב אברהם קנטור מהקהילה היהודית פורטוגזית בקופנהגן שהמיר את דתו לפרוטסטנטיות לותרנית.[1] אמו, מריה אנה בוהם, הייתה מוזיקאית קתולית ששורשיה מצד אביה במשפחה יהודית מהונגריה. סבו של קנטור מצד האם היה הכנר יליד הונגריה פרנץ לודוויג בהם, ודודה של אמו היה יוזף בהם, גם כן כנר ומנהל הקונסרבטוריון למוזיקה בווינה.[2][3] עד שהגיע לגיל 11 התגוררה משפחת קנטור בסנקט פטרבורג, בה היה האב סוחר ואחר כך ברוקר מצליח וגאורג גדל כלותרן.[3] עקב בעיות בריאות של אביו, עברה המשפחה ב-1856 לגרמניה, בהתחלה לוויסבאדן ומאוחר יותר לפרנקפורט ולדרמשטאדט. בשנות לימודיו בבית הספר הריאלי ואחר כך בבית הספר למסחר בדרמשטאדט, הצטיין קנטור במתמטיקה, במיוחד בטריגונומטריה,[3] אך גם גילה עניין בתאולוגיה ובפילוסופיה. ב-1862 סיים בהצטיינות את בית הספר. לאור בקשת אביו שילמד הנדסה הוא החל ללמוד בפוליטכניקום של ציריך. לאחר סמסטר אחד החליט ללמוד מתמטיקה באוניברסיטת ברלין, שם למד, בין השאר, אצל קארל ויירשטראס, אצל ארנסט קומר ואצל לאופולד קרונקר. במשך סמסטר אחד בקיץ 1866 למד באוניברסיטת גטינגן. הוא השלים דוקטורט בתורת המספרים ב-1867. ב-1869 הצטרף לסגל אוניברסיטת הַאלֶה (Halle) בגרמניה, שם עבד עד שנת 1913.

ב-9 באוגוסט 1874 נישא לוואלי גוטמן, ידידה יהודיה[4] של אחותו, ולזוג נולדו שישה ילדים.

קנטור סבל מאפיזודות של אופוריה ודיכאון. התקפי הדיכאון שהיו משמעותיים יותר, היו פורצים בדרך כלל בסתיו ומסתיימים באביב או בקיץ.[3] קרוב לוודאי הוא סבל מסוג של הפרעה דו-קוטבית.[5] ב-1884 חווה התקף דיכאון, התקף מתועד ראשון בסדרה של התקפי דיכאון שימשיכו לייסרו במשך שארית חייו. בין התקף אחד למשנהו המשיך לפתח תאוריות מתמטיות מזהירות. עם זאת, הדיכאונות פגעו בעבודתו המתמטית. ב-1894 פרסם מאמר מוזר למדי, בו וידא את נכונותה של השערת גולדבך עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ-1,000. היות שכארבעים שנה קודם לכן ההשערה כבר נבדקה עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ-10,000, עבודה זו מעידה כפי הנראה על מצבו הנפשי של קנטור באותה תקופה.

בשנותיו האחרונות הידרדרה בריאותו הנפשית של קנטור, והוא אושפז מדי פעם בבתי חולים לחולי נפש. עבודתו המתמטית כמעט ופסקה, והוא עסק בעיקר בפילוסופיה, בתאולוגיה ובספרות. בין השאר, ניסה להוכיח כי מחזותיו של ויליאם שייקספיר נכתבו למעשה על ידי פרנסיס בייקון (ראו שאלת זהותו של מחבר מחזות שייקספיר). הוא פרש ממשרתו ב-1913, ונפטר מהתקף לב בעת שהיה מאושפז בבית חולים בהאלה בשנת 1918.

עבודתו המתמטית

עריכה
 
צילום מסביבות שנת 1870

בתחילה, התמקד מחקרו של קנטור בסדרות טריגונומטריות. ב-1872 פרסם מאמר בו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות "חתכי דדקינד" פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה, ובמאמר המתאר אותה מוזכר מאמרו של קנטור.

ב-1873 הוכיח קנטור כי הן המספרים הרציונליים והן המספרים האלגבריים הם בני-מנייה, דהיינו, קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל ביניהם לבין המספרים הטבעיים. בדצמבר 1873 פרסם את הוכחת האי-מנייה הראשונה שלו, לפיה המספרים הממשיים אינם בני מנייה, ופרסם את תגליתו ב-1874. משתי הוכחות אלה נובע כי כמעט כל המספרים הם מספרים טרנסצנדנטיים, שעצם קיומם הוכח רק כעשרים שנה קודם לכן. כמו-כן קנטור הוכיח כי מספר הנקודות על קו ישר "גדול" מאשר מספרם של המספרים הטבעיים, שהוא המספר האינסופי ה"קטן" ביותר.

ב-1877 הוכיח את התוצאה נוגדת-האינטואיציה, כי קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין קבוצת המספרים הממשיים שבקטע [0,1] לבין המרחב הממשי ה-n ממדי (כאן n מייצג מספר טבעי כלשהו). על כך קנטור אמר: "אני רואה זאת, אך איני מאמין!".

ב-1891 פרסם לראשונה את הוכחת האלכסון של קנטור ואת משפט קנטור. השיטה אותה הגה לצורך ההוכחה קרויה לכסון, ונעשה בה שימוש מרובה מאז, בעיקר במדעי המחשב (למשל להוכחת אי-כריעות בעיית העצירה).

ב-1895 וב-1897 פרסם את שני מאמריו החשובים האחרונים. אף על פי שחלפו רק שישה חודשים בין זמני כתיבתם של מאמרים אלה, קנטור עיכב את פרסום המאמר השני משום שקיווה לכלול בו הוכחה של השערת הרצף עליה עבד, ללא הצלחה, במשך שנים רבות. הוא לא מצא הוכחה זו (כיום ידוע כי השערת הרצף היא עצמאית ביחס למערכת שבה עבד קנטור, ולכן לא קיימת לה הוכחה במסגרתה), אך המאמר השני תיאר את תורתו בדבר קבוצות סדורות היטב ומספרים סודרים. בשנת 1897 פרסם את ספרו החשוב ביותר על אודות קבוצות המספרים האינסופיים. הוא פיתח חשבון של מספרים אינסופיים בדומה לחשבון הקיים בקבוצות של מספרים סופיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן באות העברית   (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואת עוצמת הרצף סימן באות  , שהם הסימונים המקובלים בקרב המתמטיקאים עד היום.

יחס עמיתיו המתמטיקאים

עריכה

הוכחתו של קנטור, לפיה יש גדלים שונים של אינסוף וכי קבוצות שמספר איבריהן אינסופי יכולות להיות שונות זו מזו ב"מספר איבריהן", הייתה תחילתה של פעילות ענפה בתחום זה. עבור המתמטיקאים בני זמנו היה האינסוף דבר מה מעורפל, שהבנתו בלתי ניתנת להשגה. כתב העת שאליו שלח את מאמרו שהתפרסם בשנת 1874 סירב לפרסמו וקנטור נתקל בהתנגדות עזה מצד מתמטיקאים רבים בני זמנו, ובמיוחד מצד לאופולד קרונקר. לבסוף ראו אור כל רעיונותיו בדבר האינסוף, אולם אלה נותרו שנויים במחלוקת עוד שנים אחדות, בטענה שנושא זה חורג מן המתמטיקה אל המטאפיזיקה. ההתנגדות גרמה לכך שהוא נותר כל חייו במשרה אקדמית באוניברסיטה מהדרג השלישי (אוניברסיטת האלה) ולא הצליח להתברג באחת מהאוניברסיטאות המובילות כיאה לתרומתו המדעית. רק בערוב ימיו הוכרה תרומתו האדירה למתמטיקה, עליה אמר המתמטיקאי דויד הילברט: "אף אחד לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור יצר".

על אופי המחלוקת בין קנטור לבני דורו עמד אי"י פוזננסקי:

"המחלוקת שפרצה בין אנשי האין-סוף הפוטנציאלי לבין קאנטור הייתה חריפה ביותר ולא-אחת קיבלה צביון של ויכוח תאולוגי מימי-הביניים. אמנם לא הייתה צפויה לקאנטור הסכנה להישרף חיים, אבל הוא נפגע אישית קשות, נתקל במכשולים בפרסום עבודותיו, הוחרם על ידי חלק בלתי מבוטל של ציבור המתימטיקנים (וביניהם גדולי המקצוע), ונמנעה ממנו קתדרה באוניברסיטה מרכזית, בה היה יכול לנצל את כל האפשרויות של עבודה מדעית וחינוכית. מלחמת חורמה זו, שנוהלה נגדו בכל האמצעים המותרים והאסורים, כמעט שהעבירה את קאנטור על דעתו, הביאה אותו עד לסף מחלת רוח, ולבסוף גרמה להפסקת פעילותו המתמטית עשרים שנה לפני פטירתו."[6]

משפטים ורעיונות על שמו

עריכה

פרסים ואותות הוקרה

עריכה

הנצחה

עריכה
  • 1990 - איגוד המתמטיקאים הגרמנים DMV התחיל להעניק כל שנתיים מדליית קנטור על תרומות מדעיות יוצאות דופן בתחום המתמטיקה.
  • 2011 - על בית הולדתו של קנטור בסנקט פטרבורג הוצב לוח זיכרון.
  • בעיר האלה רחוב וגימנסיה נקראו על שמו.

לקריאה נוספת

עריכה
  • Joseph W. Dauben Georg Cantor's Creation of Transfinite Set Theory: Personality and Psychology in the History of Mathematics, Annals of the New York Academy of Sciences, vol. 321 Papers in Mathematics p.27-44

קישורים חיצוניים

עריכה
  מדיה וקבצים בנושא גאורג קנטור בוויקישיתוף

הערות שוליים

עריכה
  1. ^ I. Grattan-Guinness, The search for mathematical roots, 1870-1940, page 75
  2. ^ באתר הגנאלוגי geni
  3. ^ 1 2 3 4 J.Dauben עמ' 30
  4. ^ I. Grattan-Guinness עמ' 76
  5. ^ I. Grattan-Guinness עמ' 77
  6. ^ אי"י פוזננסקי, "על יסודות המתמטיקה", נספח לספר: יהושע בר-הלל, הגיון לשון ושיטה, ספרית פועלים, 1970.