פתיחת התפריט הראשי

גזירת פורמליזם אינטגרלי המסלול למכניקת הקוונטים בעזרת משוואת שרדינגר

יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: הערך אינו נגיש, הפתיח כתוב באופן לא מקובל.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
יש להוסיף מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

במכניקת הקוונטים נפוצות כמה שיטות לתיאור ההתפתחות בזמן של מערכת. השתיים ה"קלאסיות", מראשית תורת הקוונטים, הן תמונת הייזנברג ותמונת שרדינגר, אשר מבוססות שתיהן על משוואת שרדינגר. שיטה מאוחרת יותר היא פורמליזם אינטגרלי המסלול שהגה ריצ'רד פיינמן בשנת 1948. בשיטה זו, במקום לתהות איך תשתנה התפלגות המיקום של חלקיק (פונקציית הגל שלו) או איך ישתנו האופרטורים הפועלים עליו, יש לסכום על כל המסלולים האפשריים עבור חלקיק שעבר מנקודה א' לנקודה ב', והסכימה הזו – עם פונקציית משקל מסוימת – נותנת את אמפליטודת ההסתברות שהחלקיק יגיע מנקודה לנקודה. המונח היסודי בפורמליזם זה הוא הפרופגטור, המסומן לרוב ב-K, שמסמן את אמפליטודת ההסתברות למעבר.

כפי שהתמונות המוזכרות לעיל שקולות בתוצרים שהן מייצרות ובניבויים הפיזיקליים שלהן, כך גם פורמליזם אינטגרלי המסלול נותן תוצאות זהות לאלה שתיתן משוואת שרדינגר. בפרט, עבור ניסוי שני הסדקים (שהיווה מוטיבציה ומקור רעיוני לשיטת אינטגרלי המסלול) מתקבלת תוצאה זהה. כוחו המרכזי של פורמליזם אינטגרלי המסלול הוא הפשטות בה ניתן לעבור למערכות רבות חלקיקים בלי שינוי עקרוני במתודות, בעוד שבמשוואת שרדינגר יש צורך לעסוק בקוונטיזציה שנייה. אינטגרלי המסלול הם גם הכללה של עיקרון הפעולה המינימלית למכניקה הקוונטית, כפי שיוזכר גם בהמשך. בעזרת הכללות פשוטות יחסית של שיטת אינטגרלי המסלול ניתן לעסוק בחישובים מתחום המכניקה הסטטיסטית ולחשב פונקציית חלוקה באופן קוונטי. מאמר זה מציג את היסוד לפורמליזם זה, באמצעות הצגת הקשר הישיר בין משוואת שרדינגר לבין פורמליזם אינטגרלי המסלול של פיינמן, וזאת באמצעות שימוש בהמילטוניאן לא-רלטביסטי חד-חלקיקי המורכב מאנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית, המקרה הכי בסיסי בו ניתן לעסוק באינטגרלי מסלול.[1] את הפיתוח שמופיע בהמשך ניתן למצוא בספרים ובמקורות רבים, עם הבדלים מועטים, דוגמת Altland & Simons[2][3] או Lancaster & Blundell.[4]

רקעעריכה

משוואת שרדינגרעריכה

משוואת שרדינגר, כאשר משתמשים בסימון דיראק:

 

כאשר  הוא אופרטור ההמילטוניאן.את אופרטור ההמילטוניאן אפשר לכתוב כך:

 

כאשר   היא אנרגיה פוטנציאלית, m היא המסה ואנחנו מניחים שיש רק מימד מרחבי אחד, q.הפתרון הפורמלי של משוואת שרדינגר בתמונת שרדינגר נתון, באופן כללי, על ידי

 

ולכן סיכוי המעבר מהמצב ההתחלתי למצב סופי כלשהו F

 

פורמליזם אינטגרלי המסלולעריכה

פורמליזם אינטגרלי המסלול טוען שהסתברות המעבר נתונה על ידי אינטגרל על הגודל

 

על כל המסלולים האפשריים מהמצב ההתחלתי למצב הסופי, כאשר S היא הפעולה הקלאסית.

הניסוח מחדש הזה עבור סיכוי המעבר, שנהגה במקור על ידי דיראק[5] ושוכלל על ידי פיינמן,[6] מהווה את הבסיס של פורמליזם אינטגרלי המסלול.

ממשוואת שרדינגר לפורמליזם אינטגרלי המסלולעריכה

הגזירה שלהלן[7] עושה שימוש בנוסחת המכפלה של טרוטר, שקובעת שעבור כל שני אופרטורים הרמיטיים A ו-B (המקיימים תנאים מסוימים) מתקיים

 ,

אפילו אם A ו-B אינם מתחלפים.

בעזרת הנוסחה הזו, ניתן לחלק את מרווח הזמן [0,T] ל-N מקטעים מאורך

 

הדבר מאפשר לנו לכתוב, לכן, את אמפליטודת המעבר

 

וכעת, ניתן להיעזר בכך שעל אף העובדה שהאנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית אינן מתחלפות (ולכן, אי אפשר לפרק את האקספוננט של ההמילטוניאן למכפלת אקספוננט של האנרגיה הקינטית ואקספוננט של הפוטנציאלית), נוסחת טרוטר מאפשרת להתעלם מהאי-התחלפות ולכתוב בכל מקטע זמן קטן

 

בשביל נוחות הסימון, נמתין לפני שנבצע את ההפרדה הזו.

ניתן להכניס את מטריצת הזהות

 

N − 1 פעמים, בין כל זוג אקספוננטים, ולקבל

 

עכשיו נבצע את ההחלפה של טרוטר, כדי לקבל

 

עכשיו ניעזר בזהות נוספת:

 

ואז האמפליטודה תיתן

 

כאשר נעזרנו בעובדה שהפונקציות העצמיות של המקום ושל התנע מקיימות

 .

ניתן לבצע את האינטגרל על התנע p (זהו אינטגרל גאוסיאני, ולכן פתיר) ולקבל סך הכל

 

ולכן מקבלים שאמפליטודת המעבר עבור כל תקופת הזמן היא מכפלה של הנוסחה האחרונה:

 

עבור הגבול של N הולך לאינסוף, אנחנו מקבלים שאת הביטוי בסוגריים הקטנים ניתן להחליף בנגזרת של q לפי הזמן, ולקבל לכן את בתוך הסוגריים העגולים הגדולים את הלגרנז'יאן. בגבול הסכום נהפך לאינטגרל, ולכן אנחנו מקבלים

 

כאשר S היא הפעולה הקלאסית, שניתנת על ידי

 

ו-L הוא הלגרנז'יאן הקלאסי שניתן על ידי

 

עבור כל נתיב אפשר של החלקיק, שמגיע מהמצב ההתחלתי למצב הסופי, מחשבים את התרומה שלו על ידי הגבול שסימנו בסימון הקומפקטי Dq:

 

על אף הצורה הקומפקטית שיש למשוואה האחרונה למעלה, בפועל הביטוי הזה הוא הדרך בה מחשבים דברים בשיטת אינטגרלי המסלול – על ידי לקיחת גבול של אינטגרל על מקטעים. המקדם דואג ליחידות, אך אין לו משמעות אמיתית בשימושים פיזיקליים.

הפיתוח הנ"ל מכסה את הפיתוח של פורמליזם אינטגרלי המסלול (החד-חלקיקי) של מכניקת הקוונטים כאשר מתחילים ממשוואת שרדינגר. ניתן להעיר שהפורמליזם מכליל את עקרון הפעולה המינימלית, שכן שיטת הפאזה הסטציונרית גורסת שהתרומה המרכזית לאינטגרל בגבול בו קבוע פלאנק שואף לאפס נובעת מהמצב בו הפעולה מינימלית, ולכן זהו המסלול שיתקבל בסבירות הכי גבוהה.

קישורים חיצונייםעריכה

  • Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, ISBN 978-1461471158 

הערות שולייםעריכה

  1. ^ A. Zee (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell, Second Edition. Princeton University. ISBN 978-0-691-14034-6. 
  2. ^ Altland, Alexander; Simons, Ben D. (2010). "3.2 – Feynman path integral, Construction of the path integral". Condensed Matter Field Theory (באנגלית) (מהדורה 2). Cambridge University Press. עמ' 97–101. ISBN 978-0-521-76975-4. 
  3. ^ Altland, Alexander; Simons, Ben D. (2001). "4 – Feynman Path Integral". Concepts of Theoretical Solid State Physics. 
  4. ^ Lancaster, Tom; Blundell, Stephan J. (2014). "23 – Path integrals: I said to him, 'you're crazy'". Quantum Field Theory for the Gifted Amenteur. New York, New York, USA: Oxford. ISBN 978-0-19-969933-9. 
  5. ^ Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Edition. Oxford. ISBN 0-19-851208-2. 
  6. ^ Brown, Laurie M. (1958). Feynman's Thesis: A New Approach to Quantum Theory. World Scientific. ISBN 981-256-366-0. 
  7. ^ See Hall 2015 Section 20.2