גרעין (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות, גרעין הוא מושג כללי המכליל את מושג הגרעין האלגבראי - דהיינו גרעין של הומומורפיזם של חבורות, חוגים ומודולים.

באופן לא לגמרי פורמלי, גרעין של מורפיזם עבור אובייקטים כלשהם, הוא האובייקט "הכללי ביותר" עם מורפיזם מתאים מהצורה , כך ש-.

הגדרהעריכה

תהי   קטגוריה, המכילה את מורפיזם האפס. יהיו   אובייקטים ויהי   מורפיזם.

הגרעין של   הוא אובייקט   שעבורו קיים מורפיזם   שהוא המשווה של   ושל מורפיזם האפס  , וכן   אוניברסלי ביחס לתכונה זו של קיום  .

באופן מפורש, גרעין הוא אובייקט המקיים את שתי התכונות הבאות:

  •  , כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:
  • בהינתן אובייקט   עם מורפיזם כלשהו   כך ש- , קיים מורפיזם יחיד   כך ש  . כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

במקרים רבים, במיוחד באלגברה, מתייחסים לגרעין כאל הגרעין האלגברי, וההמורפיזם   הוא העתקת ההכלה הטבעית.

ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם.

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

דוגמאותעריכה

  • בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם  , אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת-קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה   הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
  • בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).