דמיון משולשים

בגאומטריה, משולשים דומים הם שני משולשים שקיים ביניהם יחס הדמיון, כלומר, הם מקיימים אחד מן התנאים הבאים:

שלוש הזוויות של שני המשולשים שוות בהתאמה. במשולשים $\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$ בציור שמשמאל מתקיים: הזווית $\angle BAC$ שווה בגודלה לזווית $\angle EDF$ , הזווית $\angle ABC$ שווה בגודלה לזווית $\angle DEF$ , והזווית $\angle ACB$ שווה בגודלה לזווית $\angle DFE$ .
היחס בין הצלעות המתאימות של שני המשולשים שווה עבור שלושת זוגות הצלעות. במשולשים $\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$ בציור שמשמאל מתקיים ${AB \over DE}={BC \over EF}={AC \over DF}$

די בכך שהמשולשים מקיימים את אחד התנאים, משום שקיום אחד התנאים גורר את קיום התנאי האחר.

כאשר שני משולשים, $\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$ , דומים, מסמנים זאת בצורה: $\triangle ABC\sim \triangle DEF\,$ , כאשר הקודקודים המתאימים הם באותו סדר (כלומר זווית A שווה לזווית D‏, B ל-E ו-C ל-F).

אינטואיטיבית, במשולשים דומים משולש אחד הוא בעצם הגדלה של המשולש האחר, הגדלה שבה כל הפרופורציות של המשולש המקורי נשמרות.

משולשים חופפים הם מקרה פרטי של משולשים דומים, המתקיים כאשר היחס בין הצלעות המתאימות במשולשים שווה ל-1.

קיומם של משולשים דומים שאינם חופפים שקול לאקסיומת המקבילים. כלומר, משולשים דומים קיימים רק בגאומטריה האוקלידית.

הוכחת דמיון משולשים

כדי להוכיח דמיון מספיק שיתקיים אחד משלושת התנאים הבאים:

שתי זוויות שוות בהתאמה. כלומר לשני המשולשים יש אותן שתי זוויות. כיוון שבמשולש יש 180 מעלות, מתנאי זה נובע ששלוש הזוויות בשני המשולשים שוות בהתאמה, כיוון שבכל אחד משני המשולשים הזווית השלישית שווה ל-180 פחות שתי הזוויות האחרות במשולש.
שלושת היחסים בין הצלעות המתאימות שווים. כלומר ניתן לסדר את המשולשים בצורה כזו שמתאימים לכל צלע במשולש אחד צלע במשולש השני כך שחלוקה של גודל של אחד בגודל של השני תיתן את אותו קבוע עבור שלושת זוגות הצלעות.
שני יחסים בין צלעות מתאימות שווים והזווית בין שתי צלעות אלו שווה.

תכונות משולשים דומים

במשולשים דומים, בין אורכי הצלעות של המשולש האחד ואורכי הצלעות של המשולש השני קיים יחס קבוע. היחס בין שטחי המשולשים שווה לריבוע היחס שבין הצלעות, ויחס ההיקפים, הגבהים, התיכונים וחוצי הזווית שווה ליחס בין הצלעות.

כאשר במשולש מעבירים קו המקביל לאחת הצלעות, הוא יוצר משולש דומה למשולש המקורי (תכונה זאת ידועה גם בשם משפט תאלס המורחב).

יחס הדמיון הוא יחס שקילות.

העובדה שבמשולשים דומים היחסים בין הצלעות המתאימות שווים מאפשרת למדוד את גובהם של עצמים גבוהים באמצעות מדידת צל, ולהשתמש בערך משולש.

ראו גם

משפט תאלס