פונקציה הומוגנית

במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע , ערך הפונקציה מוכפל ב־.

הגדרה מפורטתעריכה

תהי   פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה  , ויהי   מספר שלם. אזי הפונקציה   תיקרא הומוגנית מסדר   אם   לכל   שונה מאפס, ולכל  .

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר   כאשר הדרישה   צריכה להתקיים רק עבור   חיובי, ו-  יכול להיות כל מספר מרוכב.

דוגמאותעריכה

העתקות ליניאריותעריכה

כל העתקה ליניארית   היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות:   לכל   ולכל   .

פולינומים הומוגנייםעריכה

כל מונום (חד-איבר) ב-  משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית  . לדוגמה שטח של ריבוע -   - הוא מונום הומוגני   מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר  .

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה:   הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליותעריכה

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם   הוא פולינום הומוגני מסדר   ו-  הוא פולינום הומוגני מסדר  , אזי   היא פונקציה הומוגנית מסדר   בכל הנקודות חוץ מבשורשים של  .

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון:  , מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציות הומגניות חלקיותעריכה

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית -   - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית -  , לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים   .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר פרק זמן   נתון על ידי  , ובעוד שמתקיים  , קרי   היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור  , היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניותעריכה

ניסוח המשפטעריכה

תהי   פונקציה חלקה אזי   הומוגנית חיובית מסדר   אם ורק אם:

 .

הוכחהעריכה

 : תהי   פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי:  . נגזור את שני האגפים לפי   ונקבל:  .

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל  , נציב   ונקבל:  .

 : תהי   פונקציה חלקה המקיימת   לכל  .

נבחר   כלשהו ונגדיר:  .

כעת:  .

נציב:  .

ונקבל:  . לכן   היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש:   לכן לכל   מתקיים  . כלומר  [1]

תוצאהעריכה

עבור פונקציה   גזירה והומוגנית חיובית מסדר   נקבל ש-  היא הומוגנית מסדר  . כלומר:

 .

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי  . שכן על פי משפט אוילר:

 .

נגזור לפי   ונקבל:

 .

ולכן:

 . הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

הערות שולייםעריכה

  1. ^ המשפט לא תקף עבור   משום ש-  לא מוגדרת בנקודה  .