פתיחת התפריט הראשי

החבורה הסימטרית

במתמטיקה, החבורה הסימטרית של קבוצה היא החבורה המכילה את כל הפונקציות החד-חד ערכיות ועל מ- ל- , עם פעולת הכפל המוגדרת על ידי הרכבת פונקציות. מקובל לסמן חבורה זו, שהיא הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורת סימטריות, בסימון או .

כאשר הקבוצה סופית, ניתן להניח שאבריה הם , ואז מסמנים את חבורת הסימטריות שלה ב-, שבה יש איברים הנקראים תמורות.

הגדרות וסימוניםעריכה

מחזור (Cycle) מסדר rעריכה

מחזור מסדר r הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות באופן מעגלי (נקרא גם אופן ציקלי). את המחזור מסמנים על ידי כתיבת אברי המחזור בתוך סוגריים עגולים, כאשר התמונה של כל אבר היא האיבר שרשום אחריו. לדוגמה,   הוא מחזור מסדר 4, שבו   ולכל שאר המספרים מתקיים   (באופן לא פורמלי אומרים שאת שאר האיברים הוא "משאיר במקום"). שני מחזורים נקראים זרים אם קבוצות האיברים שאותם הם לא משאירים במקום הן זרות. לדוגמה, המחזור   זר למחזור  . משפט בסיסי מראה כי ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים (עד כדי סדר), ולכן במובן מסוים מחזורים הם אבני הבנייה של חבורת התמורות.

חילוף (או בלעז טרנספוזיציה) הוא מקרה פרטי של מחזור מסדר 2. כלומר, חילוף מחליף בין שני איברים בקבוצה ואת שאר אברי הקבוצה הוא משאיר במקומם.

רישום תמורות באמצעות מטריצהעריכה

דרך נוספת לרשום תמורות באמצעות מטריצה דו-שורתית עם n עמודות. השורה הראשונה מייצג את המצב ההתחלתי של הרצף (בדרך כלל כל איבר נמצא במקומו הטבעי [1 במקום הראשון, 2 בשני, וכו']) ואילו השורה השנייה מייצגת את המצב של האיברים אחרי הפעלת התמורה עליהם. למשל:

 

הוא הייצוג במטריצה של מחזור מסדר-3 על הקבוצה {1,2,3}, שבו  .

שיטת כתיבה זו מסורבלת למדי ולרוב משתמשים בייצוג בעזרת מחזורים זרים.

דוגמה להרכבת (כפל) תמורותעריכה

יהיו  

ו-  

משמעות הסימון   היא התמורה המתקבלת מהפעלת g ואחריה את f.  . (כי g מעביר את 1 ל-2 ולאחר מכן f משאיר את 2 במקום, וכן הלאה). יש לשים לב שבאופן כללי כפל תמורות אינו חילופי, כלומר  .

סימן של תמורהעריכה

כאמור, חילוף היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים. לדוגמה, קל לבדוק שכל מחזור מקיים את השוויון  .

תמורה שניתן להציגה כמכפלה של מספר זוגי של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה של מספר אי-זוגי של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, הזוגיות של מספר החילופים בכל שתי הצגות תמיד תהיה זהה, ולכן מושג הזוגיות של תמורה מוגדר היטב. בדוגמה של כפל התמורות,   היא מכפלה של שלושה חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד   היא תמורה זוגית.

היות שמספר החילופים במכפלה של שתי תמורות הוא פשוט סכום מספרי החילופים בכל אחת מהתמורות, הזוגיות של מכפלת תמורות פועלת לפי אותם החוקים של חיבור מספרים שלמים. כלומר, מכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית, וכל צירוף אחר הוא זוגי.

אם מגדירים את פונקציית הסימן על ידי   אם f תמורה זוגית ו-  אם f היא אי-זוגית, אז ההעתקה  היא הומומורפיזם של חבורות. גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא חבורת התמורות הזוגיות ומקובל לסמן אותו באות  . זוהי תת חבורה נורמלית של   ויש בה בדיוק   איברים.

תכונות של החבורות הסימטריותעריכה

לכל החבורות הסימטריות (מסדר  ) יש מרכז טריוויאלי. האוטומורפיזמים של כל החבורות   פרט לחבורה   הם פנימיים (כלומר, מושרים על ידי הצמדה); לחבורה   יש אוטומורפיזם חיצוני. לכן החבורות   (כאשר  ) הן שלמות.

יוצריםעריכה

את החבורה הסימטרית אפשר ליצור בעזרת שני יוצרים: החילוף   והמחזור  . ההוכחה לכך מורכבת משלוש העובדות הבאות:

  • כל תמורה ניתנת להצגה כמכפלה של חילופים.
  • כל חילוף   ניתן להצגה כהרכבה של חילופים מהצורה   באופן הבא:  .
  • כל חילוף מהצורה   מקיים:  .

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה