הטלה אורתוגרפית

הטלה אורתוגרפית (באנגלית: Orthographic projection) היא שיטה להצגת גופים תלת-ממדיים על גבי מישור דו-ממדי. זוהי סוג של הטלה מקבילית בו קווי ההטלה כולם ניצבים למישור ההטלה. הטלות השונות מהטלה אורתוגרפית נקראות הטלות אלכסוניות (oblique projections), והן הטלות מקביליות בהן קווי ההטלה אינם ניצבים למישור ההטלה.

השוואה של כמה סוגים של הטלות גרפיות.

המונח הטלה אורתוגרפית שמור בדרך כלל לתיאורים של עצמים אשר הצירים והמישורים הראשיים שמגדירים אותם מקבילים למישור ההטלה, אולם שם ידוע יותר לתיאורים אלו הוא הטלות מנקודות מבט מרובות (multiview projections). כאשר המישורים או הצירים הראשיים של העצם התלת-ממדי אינם מקבילים למישור ההטלה, אלא דווקא מוטים בהשוואה אליו וחושפים צדדים מרובים של האובייקט, אז ההטלה נקראת הטלה אקסונומטרית. תת-סוגים של הטלות מנקודות מבט מרובות נקראים מבט-על ומבט-צד, בעוד תת-סוגים של הטלה אקסונומטרית כוללים הטלה איזומטרית, הטלה דימטרית והטלה טרימטרית.

במודלים של ראיית מכונה משתמשים לעיתים בהטלה אורתוגרפית בשל פשטותה - כטכניקה פרספקטיבית בה נקודת המבט נמצאת "באינסוף", מראה אורתוגרפי משמר את הגדלים האמיתיים של העצמים הנצפים (ללא הסיבוכים החישוביים הכרוכים בעיוות הגדלים), ובנוסף, בגלל שהקרניים היוצאות מהעצם מגיעות מקבילות, אין אפקט של הגברה או הפחתה בעוצמת התאורה עם שינוי המרחק מהעצם הנצפה. באופטיקה, עדשות שמסוגלות לספק מראה אורתוגרפי של המרחב נקראות עדשות טלצנטריות (Telecentric lens).

המשפט היסודי של האקסונומטריה

היטלים אורתוגרפיים של שלושה מקודקודי הקוביה אל המישור המרוכב; הנקודות במישור המרוכב מיוצגות כווקטורים $U,V,W$ במישור.

אחד המשפטים החשובים למטרות שרטוט מדויק של גופים תלת-ממדיים על גבי מישור דו-ממדי הוא המשפט היסודי של האקסונומטריה (Fundamental Theorem of Axonometry), שנוסח לראשונה על ידי המתמטיקאי הנודע קרל פרידריך גאוס, ולו שימושים רבים בתכנון גרפי מבוסס מחשב. משפט זה הופיע לראשונה בכתב יד שלו תחת הכותרת "היטלי הקוביה", והוא עונה על השאלה כיצד לשרטט בצורה מיטבית קובייה תלת-ממדית על גבי משטח דו-ממדי, ולהפך - המשפט מאפשר לבדוק אם שרטוט מישורי נתון של קובייה יכול לתאר נאמנה קובייה כלשהי (כאשר הקוביה לא נתונה). בניסוח תמציתי, המשפט מראה שמועיל לבחון הטלות אורתוגרפיות של קודקודי הקוביה אל תוך המישור המרוכב. באופן פורמלי, הוא קובע כי אם $A,B,C$ הם שלושת המספרים המרוכבים שמייצגים את הנקודות במישור המרוכב אליהן מעבירה ההטלה האורתוגרפית שלושה קודקודים סמוכים לקודקוד נתון של הקוביה, אז מתקיים: $A^{2}+B^{2}+C^{2}=0$ - כלומר אם תנאי זה מתקיים, אז זהו שרטוט מדויק של הקוביה.

בהמשך לעבודתו של גאוס, המתמטיקאים רוג'ר פנרוז ו-Michael Eastwood גילו והוכיחו תוצאה דומה עבור המקרה של שרטוט אקסונומטרי של טטראדר. המשפט שלהם קובע כי אם $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ הם המספרים המרוכבים המייצגים את הנקודות במישור אליהן מעבירה ההטלה את ארבעת קודקודי הטטראדר, אז מתקיים: $(\alpha +\beta +\gamma +\delta )^{2}=4(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2})$.

סיווג אקסונומטריות

המשפט היסודי של האקסונומטריה מאפשר לחלק את ההטלות האקסונומטריות השונות לשלושה תת-סוגים: הטלה איזומטרית, הטלה דימטרית והטלה טרימטרית, בהתאם לזווית המדויקת שבה כיוון המבט סוטה מכיוון ספציפי.

בשרטוט איזומטרי, שהוא הצורה הנפוצה ביותר של הטלה אקסונומטרית שנעשה בה שימוש לצרכים הנדסיים, כיוון המבט הוא כזה ששלושת הצירים של הקוביה נראים מכווצים במידה שווה, וישנה זווית משותפת של 120 מעלות בין כל שניים מהם. במקרה זה, את ההיטלים של צלעות הקוביה מתארים שורשי היחידה מסדר שלישי (עד כדי כפל בקבוע ממשי), בהתאם למשפט היסודי של האקסונומטריה. בשרטוט דימטרי, כיוון המבט הוא כזה ששניים מצלעות הקוביה נראים מכווצים במידה שווה, בעוד הצלע השלישי נראה מכווץ במידה שונה. קנה המידה בשרטוט כזה נקבע עבור שתי הצלעות והצלע השלישית בנפרד. בציור טרימטרי, כל אחת משלוש הצלעות נראית מכווצת במידה שונה, וקנה מידה נקבע בנפרד עבור כל צלע.

קרטוגרפיה

הטלה אורתוגרפית (מנקודת מבט משוונית) של חצי הגלובוס המזרחי, בין קווי האורך 30 מערב ל-150 מזרח.

הטלות אורתוגרפיות משמשות בקרטוגרפיה. כמו ההטלה הסטריאוגרפית וההטלה הגנומונית, ההטלה האורתוגרפית היא הטלה פרספקטיבית (משמרת זוויות אזימוט), בה הספירה עוברת הטלה אל המישור המשיק. נקודת הפרספקטיבה במקרה של הטלה אורתוגרפית היא במרחק אינסופי. לכן, הטלה זאת מתארת המיספירה של הגלובוס כפי שזו נראית מהחלל החיצון, בעוד האופק הוא מעגל גדול. הצורה והשטחים מתעוותים, במיוחד בסמוך למקצועות של הגוף המוטל.

ההטלה האורתוגרפית ידועה מאז העת העתיקה, והשימושים הקרטוגרפיים בה מתועדים היטב. היפרכוס נעזר בהטלה במאה השנייה לפנה"ס כדי לקבוע את המיקומים בהם יתרחשו זריחת-כוכב ושקיעת-כוכב. בשנת 14 לפנה"ס, המהנדס הרומאי ויטרוביוס נעזר בהטלה כדי לבנות שעוני שמש וכדי לחשב מיקומי שמש. ויטרוביוס הוא זה שטבע את המונח הטלה אורתוגרפית (ביוונית orthos פירושו "ישר" ו-graphē פירושו שרטוט) כדי להתייחס להטלה זו. עם זאת, המונח אנלמה, אשר נעשה בו שימוש גם כדי להתייחס לסוג של שעוני שמש, היה השם הנפוץ עד אשר François d'Aguilon מאנטוורפן קידם את השימוש בשם הנוכחי, בשנת 1613.

ראו גם

• שרטוט טכני

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הטלה אורתוגרפית בוויקישיתוף

• הטלה אורתוגרפית, באתר MathWorld (באנגלית)