הטלה (מתמטיקה)

הטלה באלגברה ליניארית היא העתקה ליניארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים.

דוגמהעריכה

נסתכל בווקטור ב-  אותו אפשר לרשום בצורה

 
הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור   תחזיר  . הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל:  .

אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל  . הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרהעריכה

יהי   מרחב וקטורי ותהי   העתקה ליניארית.   תיקרא הטלה על תת-מרחב של  , אם  . איבר באלגברה של ההעתקות הליניאריות מ-V לעצמו, המקיים   נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).

באופן שקול, אם נחלק את V לסכום ישר של תת-מרחבים,  , אזי לכל וקטור   קיימים   ו-  כך שמתקיים  . נאמר שההעתקה הליניארית   היא הטלה על   אם היא מקיימת  .

ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

תכונותעריכה

יהי   מרחב וקטורי עם הטלות   על התת-המרחבים   בהתאמה אזי לכל   מתקיים:

  1.  
  2.   לכל  
  3.  
  4.  
  5.   ניתנת ללכסון, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
  6. תהי   העתקה ליניארית, אזי התת-מרחבים   הם תתי-מרחב T-שמורים אם ורק אם   (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושיםעריכה

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.