הטלה (מתמטיקה)

הטלה (באנגלית projection) באלגברה ליניארית היא העתקה ליניארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים.

דוגמה

נסתכל בווקטור ב-$\mathbb {R} ^{3}$ אותו אפשר לרשום בצורה

$$v=(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{x}{\hat {x}}+v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}$$

הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור ${\hat {x}}$ תחזיר $P_{x}v=v_{x}{\hat {x}}$. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: $P_{x}^{2}v=P_{x}(v_{x}{\hat {x}})=v_{x}{\hat {x}}$.

אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל $P_{yz}v=v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}$. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה

יהי $V$ מרחב וקטורי ותהי $P:V\rightarrow V$ העתקה ליניארית. $P$ תיקרא הטלה על תת-מרחב של $V$, אם $P^{2}=P$. איבר באלגברה של ההעתקות הליניאריות מ-V לעצמו, המקיים $P^{2}=P$ נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).

באופן שקול, אם נחלק את V לסכום ישר של תת-מרחבים, $V=U\oplus W$, אזי לכל וקטור $v\in V$ קיימים $u\in U$ ו-$w\in W$ כך שמתקיים $v=u+w$. נאמר שההעתקה הליניארית $E:V\to V$ היא הטלה על $W$ אם היא מקיימת $E(v)=w$.

ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

תכונות

יהי $V$ מרחב וקטורי עם הטלות $E_{1},E_{2},\dots ,E_{k}$ על התת-המרחבים $W_{1},W_{2},\dots ,W_{k}$ בהתאמה אזי לכל $1\leq i\leq k$ מתקיים:

1. $E_{i}^{2}=E_{i}$
2. $E_{i}E_{j}=0$ לכל $i\neq j$
3. $\operatorname {Im} E_{i}=W_{i}$
4. $V=\operatorname {Ker} E_{i}\oplus \operatorname {Im} E_{i}$
5. $E_{i}$ ניתנת ללכסון, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
6. תהי $T:V\to V$ העתקה ליניארית, אזי התת-מרחבים $W_{i}$ הם תתי-מרחב T-שמורים אם ורק אם $TE_{i}=E_{i}T$ (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושים

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.