פתיחת התפריט הראשי
ההיפרבולה
מציאת מרכז של היפרבולה

במתמטיקה, הִיפֶּרְבּוֹלָה היא צורה גאומטרית המהווה חתך חרוט, המורכבת משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

ההיפרבולה ניתנת להגדרה כמקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שהערך המוחלט של ההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מישור קרטזי כעקום, באמצעות המשוואה האלגברית הבאה:

כאשר .

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה (המוקד) וישר נתון (המכונה דירקטריקס, מדריך) הוא קבוע גדול מ-1. קבוע זה הוא האקסצנטריות של ההיפרבולה.

אמצע הקטע שבין שני המוקדים נקרא מרכז ההיפרבולה. להיפרבולה שתי אסימפטוטות שנחתכות במרכזה. תהליך למציאת מרכז היפרבולה מתואר באנימציה.

היפרבולה שציריה מאונכים זה לזה נקראת היפרבולה שוות שוקיים (או ישרה). היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים נקראת היפרבולה קנונית.

משוואות המתארות היפרבולהעריכה

מערכת קואורדינטות קרטזיתעריכה

(המרכז (המוקד):  )

 
 

בשתי משוואות אלה, a הוא הציר הראשי ו-b הוא הציר המשני, אולם ייתכן ש-b יהיה גדול מ-a.
במקרה הפרטי של היפרבולה קנונית (כלומר, שהמוקד נמצא בראשית הצירים ), מתקבלת הנוסחה:

 

ניתן להבחין בדמיון הרב בין נוסחה זו לנוסחתה של אליפסה קנונית ( ).

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:

 

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

 

משוואות האסימפטוטות הן:

 
 

מערכת קואורדינטות קטביתעריכה

 
 
 
 

הצגה פרמטרית (לענף הימני)עריכה

 
 

תכונות אנליטיות של ההיפרבולהעריכה

השטח תחת ההיפרבולהעריכה

האינטגרל של ההיפרבולה "הפשוטה" מהצורה:   הוא:

 .

ניתן להגיע לתוצאה זאת באמצעות טכניקה אלגנטית של שינוי מערכת קואורדינטות מ-(x,y) למערכת קואורדינטות   המסובבת בזווית 45 מעלות ביחס למערכת הצירים (x,y) ומקיימת  . טרנספורמציית קואורדינטות זאת מתאפשרת אודות לעובדה שהפונקציה   היא למעשה היפרבולה, מה שמסביר את הופעת הלוגריתם בתוצאת האינטגרציה של השטח תחת ההיפרבולה (אינטגרל של   זה  ). האיבר הנוסף בתוצאה נובע מכך שהשטח תחת ההיפרבולה מורכב גם ממשולש ישר-זווית "שאריתי" שניצביו x ו- .

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא היפרבולה בוויקישיתוף