הלמה של גאוס (פולינומים)

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

• המכפלה של שני פולינומים פרימיטיביים, כלומר, פולינומים שלמקדמים שלהם אין גורם משותף פרט ל-1, היא גם פרימיטיבית.
• אם פולינום בעל מקדמים שלמים הוא פולינום אי פריק מעל חוג המספרים השלמים, אז הוא אי פריק גם מעל שדה המספרים הרציונליים.
• אם D תחום פריקות יחידה, אז גם חוג הפולינומים $\ D[x]$ תחום פריקות יחידה.

הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה (ובאופן כללי יותר לפולינומים מעל כל תחום gcd), ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.

הוכחה

הוכחה ללמה הראשונה. יהי D תחום פריקות יחידה, ונניח ש- $\ f(x),g(x)$ פולינומים בעלי מקדמים ב- D. ברור שגם מקדמי המכפלה $\,f(x)\cdot g(x)$ הם ב-D. אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני, p. מכיוון שהאידיאל $\ Dp$ ראשוני, חוג המנה $\ D/Dp$ הוא תחום שלימות, ולכן חוג הפולינומים מעליו $\ (D/Dp)[x]$ גם הוא תחום שלמות. לפי ההנחה fg=0 בחוג זה, ולכן f=0 או g=0 - מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.

הוכחה נוספת: יהי p ראשוני. אם $f=\textstyle \sum _{k=0}^{N}\displaystyle a_{k}x^{k}$ ו-$g=\textstyle \sum _{k=0}^{M}\displaystyle b_{k}x^{k}$, יש אינדקסים מינימליים n, m עבורם $a_{n},b_{m}$ לא מתחלקים ב-p. אז $a_{n}b_{m}$ לא מתחלק ב-p, ולכל $i\neq n$, $a_{i}b_{n+m-i}$ מתחלק ב-p ולכן המקדם של $x^{n+m}$ ב-$fg$ (שהוא $a_{n}b_{m}+\textstyle \sum _{i=0,i\neq n}^{n+m}a_{i}b_{n+m-i}\displaystyle$) לא מתחלק ב-p.