הלמה של גאוס (פולינומים)
הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:
- המכפלה של שני פולינומים פרימיטיביים, כלומר, פולינומים שלמקדמים שלהם אין גורם משותף פרט ל-1, היא גם פרימיטיבית.
- אם פולינום בעל מקדמים שלמים הוא פולינום אי פריק מעל חוג המספרים השלמים, אז הוא אי פריק גם מעל שדה המספרים הרציונליים.
- אם D תחום פריקות יחידה, אז גם חוג הפולינומים תחום פריקות יחידה.
הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה (ובאופן כללי יותר לפולינומים מעל כל תחום gcd), ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.
הוכחהעריכה
הוכחה ללמה הראשונה. יהי D תחום פריקות יחידה, ונניח ש- פולינומים בעלי מקדמים ב- D. ברור שגם מקדמי המכפלה הם ב-D. אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני, p. מכיוון שהאידיאל ראשוני, חוג המנה הוא תחום שלימות, ולכן חוג הפולינומים מעליו גם הוא תחום שלמות. לפי ההנחה fg=0 בחוג זה, ולכן f=0 או g=0 - מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.
הוכחה נוספת: יהי p ראשוני. אם ו- , יש אינדקסים מינימליים n, m עבורם לא מתחלקים ב-p. אז לא מתחלק ב-p, ולכל , מתחלק ב-p ולכן המקדם של ב- (שהוא ) לא מתחלק ב-p.