למשפט זה תפקיד חשוב בפיתוח התורה של תוחלת מותנית, בכך שהוא מאפשר להכליל את מושג ההתניה במשתנה מקרי, ולהגדיר התניה בסיגמא-אלגברה. ההתניה במשתנה המקרי מתקבלת כמקרה פרטי מהגדרה זו על ידי התניה בסיגמא-אלגברה הנוצרת על-ידו.
השקילות הראשונה בטענה ברורה. כמו כן הטענה כי אם אז , גם היא ברורה, ונובעת מהטענה הפשוטה כי הרכבה של פונקציות מדידות היא פונקציה מדידה. עיקר האתגר במשפט הוא להוכיח כי אם אז הוא פונקציה מדידה של .
תחילה נראה את היחידות כמעט תמיד של . נניח כי היא פונקציה כלשהי המקיימת , אז נתבונן בקבוצה המדידה . נשים לב כי , ולכן מידתה של היא , כנדרש.
כעת נראה את הקיום. ניתן להוכיח את המשפט באמצעות הוכחתו עבור פונקציות מציינות, להסיק אותו עבור פונקציות פשוטות, ועל ידי שימוש בעובדה שכל פונקציה מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, ניתן להסיק את המשפט לכל פונקציה מדידה. להלן נציג הוכחה אחרת.
לצורך הפשטות, נוכיח זאת עבור קטע היחידה עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, שהוא איזומורפי כמרחב מדיד ל-. ההוכחה למקרה ה--ממדי תהיה כמעט זהה. נשים לב כי ניתן להציג מרחב זה על ידי מרחב מכפלה מהצורה , עם סיגמא-אלגברת בורל המכפלה. לכל נתבונן בפונקציית ההטלה המחזירה את ערך הקואורדינטה ה-. זו פונקציה מדידה. נשים לב שקיימת פונקציה , כך שמתקיים . ניתן לראות כי מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה , ואם נניח את ההנחה שבמשפט כי , ינבע כי היא גם מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה . נגדיר לפיכך על ידי , וזו הפונקציה המבוקשת.