הלמה של נקאימה

(הופנה מהדף הלמה של נקיאמה)

במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג .

לפי הלמה, לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, , כאשר אם הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של . הטענה חשובה במיוחד כאשר חוג מקומי (אז J הוא האידיאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.

מן הלמה נובע, למשל, שכאשר נוצר סופית, לכל תת-מודול ; כלומר, המכפלה קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל- כולו.

בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:

תהי אלומה קוהרנטית. אז הנבט ב-, המסומן ב, הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה של כך ש-.

בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית מעל חוג ולכל אידיאל ב-, אם אז קיים שעבורו . כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד כך שלכל מתקיים .

הוכחהעריכה

נניח כי   הוא  -מודול נוצר סופית השונה מ- . מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש-  נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול   מקסימלי (כלומר,   אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של  ). מכך נובע כי   הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידיאל שמאלי מקסימלי   ב-  כך ש- . אבל  , ולכן  . מכאן ש- .

לקריאה נוספתעריכה

  • Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.