מספר טבעי

מספר שלם חיובי, המתאר מספר איברים בקבוצה סופית, כמו 1,2,3 או 42
(הופנה מהדף המספרים הטבעיים)

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, המספרים הטבעיים הם המספרים 0, 1, 2, 3, וכו' עד אינסוף, לעיתים ללא המספר אפס. יש המגדירים את הטבעיים בתור המספרים השלמים האי-שליליים, 0,1,2,3..., בעוד שאחרים מתחילים מ־1, ומגדירים אותם בתור המספרים השלמים החיוביים 1,2,3... . יש מחברים שמתייחסים לשתי ההגדרות, לפי הצורך. מקובל לסמן את קבוצת המספרים הטבעיים באות .

המספרים הטבעיים הם הקלים ביותר להבנה, והראשונים שנלמדים על ידי ילדים. למספרים טבעיים שתי מטרות:

  • מנייה, למשל: יש שלושה תפוחים על השולחן.
  • סדר, למשל: זו העיר השלישית בגודלה במדינה.

תכונותיהם של המספרים הטבעיים נחקרות במסגרת תורת המספרים.

מספרים טבעיים יכולים להיות זוגיים (כלומר מתחלקים ב-2 ללא שארית) או אי-זוגיים (אינם מתחלקים ב-2).

קבוצת המספרים הטבעיים היא אינסופית ובת מנייה, כלומר עוצמתה היא (אָלֶף אֶפֶס).

הגדרה ובנייה

עריכה

המספרים הטבעיים הם הראשונים שהופיעו כמושגים נבדלים: מספר טבעי מונה את האיברים בקבוצה. אפשר לראות את ההבחנה שיש משהו משותף בקבוצה של שלושה אנשים, שלושה תפוחים או שלושה נמרים כהכללה המתמטית הראשונה שעשו בני האנוש (ישנם מחקרים המראים שגם לבעלי חיים מסוימים יש יכולת הכללה זו). לאופולד קרונקר אמר ש"האל יצר את המספרים הטבעיים – כל השאר הוא יציר האדם".

במסגרת היציקה המודרנית של המתמטיקה לשפת תורת הקבוצות, הציע הלוגיקאי גוטלוב פרגה שהמספר שלוש הוא, בפשטות, קבוצת כל הקבוצות שיש בהן שלושה איברים (היינו, שהאיברים שלהן נמצאים בהתאמה לקבוצה מסוימת בת שלושה איברים). בגישה זו יש פרדוקסים, הנובעים מכך שאוסף כל הקבוצות הוא מקור לפרדוקסים מחמת גודלו, ואינו יכול להוות קבוצה בפני עצמו (ראו פרדוקס קנטור).

הבניה של מערכת פאנו מאפשרת לקבוע שמספר טבעי הוא איבר של מערכת פאנו (כל המודלים של אקסיומות פאנו הם איזומורפיים).

פון נוימן הציע בנייה מפורשת, המקובלת היום כייצוג סטנדרטי של המספרים הטבעיים בתוך תורת הקבוצות האקסיומטית: המספר 0 מוגדר כקבוצה הריקה, וכל מספר   מוגדר כקבוצה  . כך למשל,  .

סדר על המספרים הטבעיים

עריכה

ניתן להגדיר על המספרים הטבעיים יחס סדר אשר מגדיר באופן חד-ערכי את היחסים "גדול מ-" ו"קטן מ-". בהינתן שני מספרים טבעיים   אומרים כי   גדול מ-  ומסמנים   אם ורק אם קיים מספר טבעי   שונה מ-0 כך ש- . באופן דומה אומרים כי   קטן מ-  ומסמנים   אם ורק אם  .

היחס   על המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא. כלומר, עבור כל שני מספרים טבעיים כלשהם   מתקיים בדיוק אחד משלושת התנאים הבאים:

  1.  
  2.  
  3.  

יתרה מכך, היחס   הוא יחס סדר טוב. כלומר, לכל תת-קבוצה לא ריקה של המספרים הטבעיים   בהכרח קיים מינימום.

הוכחה ש-  הוא יחס סדר טוב:

בהינתן ש-  אינה ריקה, בהכרח קיים   כלשהו. מגדירים קבוצה  . אם   ריקה, בהכרח   הוא האיבר הקטן ביותר ב- . אחרת   היא בהכרח קבוצה סופית, זאת מכיוון שבקבוצת המספרים הטבעיים, קבוצת המספרים הקטנה ממספר כלשהו היא בהכרח סופית. אם כך,   היא קבוצה סופית סדורה בסדר מלא  , ולכן יש לה איבר קטן ביותר, נסמנו ב- .   זה הוא האיבר המינימלי ב- .

מספרים טבעיים ראשוניים ופריקים

עריכה
 
מספרים ראשוניים ופריקים

בתורת המספרים, מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ-1, שלא ניתן להציגו כמכפלה של בדיוק שני מספרים טבעיים קטנים ממנו. הראשוניים הם אבני הבניין של תורת המספרים, משום שאפשר להרכיב מהם, באמצעות פעולת הכפל, כל מספר טבעי.

מספר טבעי גדול מ-1 שאינו ראשוני נקרא מספר פריק.

המספר 1 אינו נחשב ראשוני, וגם לא פריק.

לפי "המשפט היסודי של האריתמטיקה", שהוצג לראשונה עם הוכחה, על ידי אוקלידס, כל מספר טבעי גדול מ-1 אפשר להציג באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים (למשל:  ).

ראו גם

עריכה

קישורים חיצוניים

עריכה


מספרים טבעיים
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55
60 70 80 90 99 100 200 300 400 500
1,000 2,000 10,000 100,000 600,000 1,000,000
אחרים
שמות מספרים | ...0.999 | 666 | 1089 | 1729 | קבוע קפרקר | גוגול | גוגולפלקס | מספר גרהאם
תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים
 
          
מקרא
שדה.
חוג קמוטטיבי עם יחידה.
חוג עם חילוק.
מבנה כללי יותר.
קבוצה סופית
קבוצה בת מניה
קבוצה מעוצמת הרצף
מחלקה הגדולה מכדי להיות קבוצה
 
שיכון
 
העתקה על
איזומורפיזם לא קאנוני.
העתקה שקיימת רק בחלק מהמקרים (בהתאם לבחירה של שדה המספרים  ). ללא העתקות אלה וללא האיזומורפיזמים הלא קאנוניים, הדיאגרמה היא קומוטטיבית.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
מבנים ארכימדיים
 
 
 
 
 
 
 
 
מבנים אדליים ו - p-אדיים
 
          
 
                    
 
          
 
          
 
               
 
          
 
          
 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
מבנים ממאפיין חיובי
 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. ^   יכול להיות כל שדה מספרים. השדה   יהיה ההשלמה שלו במקום סופי שלו, והשדה הסופי   יהיה מנה של חוג השלמים   באידיאל הראשוני המתאים. לדוגמה אפשר לקחת את   ואז   יהיה חוג השלמים של גאוס. אם רוצים ששני החיצים המקווקוים ייצגו העתקות אז צריך לבחור שדה שיש לו גם שיכונים ממשיים וגם מרוכבים, למשל  .
  2. ^ הסימבול   יכול לסמן משתנה אחד או כל קבוצה סדורה היטב של משתנים. יש שיכון בין אובייקט המתאים לקבוצה   של משתנים לבין אובייקט המתאים לקבוצה   של משתנים המכילה את  .