הצבת ויירשטראס

בחשבון אינטגרלי, הצבת ויירשטראס (מכונה גם ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית או הצבת טנגנס חצי-הזווית) היא שיטה לחישוב אינטגרלים, אשר ממירה פונקציה רציונלית של פונקציות טריגונומטריות של לפונקציה רציונלית רגילה של באמצעות ההצבה ; מכיוון ש-sinx ו-cosx מהווים ביטויים רציונליים ב-t, פונקציה רציונלית של אלו מהווה גם היא ביטוי רציונלי ב-t . נוסחת הטרנספורמציה הכללית היא:

לאחר המעבר לפונקציה רציונלית רגילה, האינטגרל ניתן לפתירה באמצעות פירוק לשברים חלקיים. ההצבה נקראת על שם קרל ויירשטראס (1815–1897) אף על פי שניתן למצוא אותה במפורש כבר בספר של לאונרד אוילר מ-1768, וסביר מאוד להניח שהייתה ידועה עוד לפני כן. מבין הטכניקות האלמנטריות להתרת אינטגרלים לא מסוימים, הצבה זאת נחשבת לאחת היותר "טריקיות", והנוסחאות הקשורות בה קשות יותר לזכירה.

אמצעי עזר גאומטרי לגזירת הנוסחהעריכה

מנמוניקה גאומטרית לשחזור נוסחאות הטרנספורמציה מתבססת על הצבת משולש ישר-זווית בעל זווית   בתוך מעגל היחידה באופן כזה שזווית זו היא זווית מרכזית במעגל (ראו איור 1). הזווית ההיקפית הנשענת על קשת המעגל המתאימה לזווית   היא  , ולפיכך, מדמיון משולשים בין משולשים AOB ו-ACE נקבל:

 

מכאן נקבל:

 

ומהנוסחה ל-  נקבל גם:  .


דוגמאותעריכה

דוגמה ראשונה: אינטגרל הקוסקנטעריכה

 

דוגמה שנייה: אינטגרל מסויםעריכה

 

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה