הקומפקטיפיקציה החד נקודתית

קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

הבנייהעריכה

יהא   מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית   ונגדיר  . נגדיר טופולוגיה   על   - קבוצה   תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

  1.   הייתה במקור קבוצה פתוחה ב- , כלומר  .
  2.   וגם   היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת נכונות הבנייהעריכה

נראה ש-  הוא מרחב קומפקטי. יהא   כיסוי פתוח של  . קיימת   כך ש- , ומשום ש-  אזי   היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל-  יש תת-כיסוי סופי  , לכן   הוא כיסוי סופי של   ונקבל ש-  קומפקטית כנדרש.

תכונה נוספת של עריכה

  ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף

אם נניח ש-  הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם   הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות  . אם   אזי משום ש-  הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב-  וזרות   ו-  כך ש-  ו-  ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב-  היא קבוצה פתוחה ב- . אחרת,   או   ונניח בלי הגבלת הכלליות כי  . משום ש-  הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת   (ובפרט,  ) כך ש-  וש-  היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה   היא קבוצה פתוחה ב- . בנוסף, נשים לב כי   ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב-  וזרות כך ש-  ו-  ולכן נקבל ש-  הוא מרחב האוסדורף כנדרש.

ראו גםעריכה