השערת גודמן

באנליזה מרוכבת, השערת גודמן היא השערה בדבר המקדמים של פונקציות מולטי-ולנטיות, המכלילה את משפט דה ברנז'. את ההשערה ניסח אדולף וינקלר גודמן, מתמטיקאי שעסק רבות בתורת הפונקציות המולטי-ולנטיות.

ניסוח

תהי $f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}z^{n}}$ היא פונקציה $p$-ולנטית. ההשערה טוענת כי המקדמים מקיימים:

$|b_{n}|\leq \sum _{k=1}^{p}{\frac {2k(n+p)!}{(p-k)!(p+k)!(n-p-1)!(n^{2}-k^{2})}}|b_{k}|$

תוצאות חלקיות

גודמן ומתמטיקאים רבים הגיעו לתוצאות חלקיות בדבר ההשערה. היא הוכחה למספר משפחות פונקציות ספציפיות, ובמקביל הוכחו חסמים חלשים יותר מהטענה עצמה.

משפט: כאשר $p=2,3$ השערת גודמן נכונה עבור פונקציות מהצורה $P\circ \phi$ כאשר $P$ הוא פולינום ו-$\phi$ היא אוניוולנטית.

לקריאה נוספת

• A. W. Goodman, ON SOME DETERMINANTS RELATED TO p-VALENT FUNCTIONS, 1948
• Abdallah Lyzzaik and David Styer, Goodman's Conjecture and the Coefficients of Univalent Functions, Proceedings of the American Mathematical Society, 1978