השערת קתה

השערת קֶתֶה היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידיאלים ניליים. את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe‏; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי.

השערת קתה

תכונות של חוג R ושל חוג הפולינומים מעליו (ראו הסבר בגוף הטקסט).

השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):

• האידיאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידיאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי.

השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:

• הסכום של שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי.
• אם בחוג אין אידיאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידיאל נילי חד-צדדי.
• לכל חוג $R$ מתקיים $N(R)={\overline {N}}(R)$, כאשר $N(R)$ הוא סכום האידיאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו-${\overline {N}}(R)$ הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה).
• לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות $\operatorname {M} _{2}(R)$ נילי.
• לכל חוג נילי $R$, חוג הפולינומים $R[x]$ קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).
• אם $\operatorname {J} (R[x])=0$ אז ${\overline {N}}(R)=0$.
• אם $R$ חוג נילי אז $R[x]$ איננו פרימיטיבי.

השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידיאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים. עם זאת, יצוין כי קיים חוג $R$ השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי. בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם $R$ נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל סמוקטונוביץ' 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של סמוקטונוביץ' 2000).

הגרסה הלא-אסוציאטיבית של השערת קתה אינה נכונה: באלגברה הלא-אסוציאטיבית הנוצרת על ידי שני איברים $x,y$ תחת היחסים: $xy=y,yx=x,x^{2}=y^{2}=0$, האיברים $x$ ו-$y$ יוצרים אידיאלים שמאליים ניליים, אך סכומם אינו נילי.

מקרים שבהם ההשערה מתקיימת

השערת קתה מתקיימת בחוג $R$ אם לכל אידיאל נילי שמאלי $L$, האידיאל הדו-צדדי $L+LR$ הוא נילי. השערת קתה מתקיימת בחוגים מהמהחלקות הבאות:

• בחוגים נתריים (לפי משפט הופקינס-לויצקי: בחוג נתרי, כל אידיאל חד-צדדי נילי הוא נילפוטנטי).
• בכל חוג עם זהויות ${\overline {N}}(R)=\operatorname {Nil} _{*}(R)$ (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו $\operatorname {Jac} (R)=\operatorname {Nil} _{*}(R)$, משפט Razmyslov-Kemer-Braun).
• בחוגים שבהם רדיקל ג'ייקובסון נילי (משום שכל אידיאל שמאלי נילי מוכל ברדיקל ג'ייקובסון). תכונה זו מתקיימת במקרים הבאים (שאת כולם הוכיח עמיצור):
  • באלגברה אלגברית מעל שדה;
  • באלגברה $R$ שממדה מעל $F$ קטן ממש מהעוצמה של $F$;
  • בחוג $R[x]$ אם $R$ היא אלגברה מעל שדה שאינו בן-מניה (בהקשר זה ראוי לציין שמעל כל שדה בן-בניה, יש אלגברה נילית $R$ כך ש-$\operatorname {J} (R[x])=R[x]$ אינו נילי; סמוקטונוביץ', 2000).
• באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998).

לפי משפט של עמיצור, רדיקל ג'ייקובסון של כל חוג $R[x]$ הוא מהצורה $I[x]$ כאשר $I$ אידיאל נילי. מכאן שאם $R$ הוא חוג שאין בו אידיאלים ניליים, אז $\operatorname {J} (R[x])=0$.

מקורות

• On some results related to Koethe's conjecture, A. Smoktunowicz, Serdica Math J 27 (2000), 159--170.
• The Concise Handbook of Algebra, C.18.
• A. Smoktunoicz, Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory, March 2005, Volume 8, Issue 1, pp 69-73