פונקציה חד-חד-ערכית ועל

פונקציה המבטאת סוג של התאמה בין קבוצות
(הופנה מהדף התאמה חד חד ערכית)

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל (נקראת גם בִּייקציָה; באנגלית: Bijection) מקבוצה X לקבוצה Y היא פונקציה המתאימה לכל איבר של X איבר אחד ויחיד של Y, כך שכל איבר ב Y מותאם לאיבר ב X. פונקציה חח"ע (חד חד ערכית) ועל נקראת "פונקציה הפיכה" וגם זיווג.

באופן פורמלי: חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם לכל קיים יחיד כך ש . בתנאי זה, קיומו של מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים שונים שעבורם ,) מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.

דוגמאות

עריכה
  • מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכיסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כיסאות פנויים באולם.
  • פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.
 
גרף פונקציה   בתחום  
  • הפונקציה   היא חד-חד-ערכית ועל בתחום  , משום שכל ערך של y בקטע הממשי   מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום   משום שכל ערך של y בקטע הממשי   מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא   וגם  ).
  • הפונקציה   היא חד-חד-ערכית ועל בתחום  , משום שכל ערך של y בקטע הממשי   מתקבל בדיוק פעם אחת.

דיאגרמות להמחשה

עריכה

תכונות ושימושים

עריכה
  • אם קיימת פונקציה כזו בין   ל- , הקבוצות   ו-  נקראות "שקולות" והן בעלות אותה העוצמה.
  • פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן היא מגדירה יחס שקילות בין קבוצות על פי עוצמתן ובפרט יחס סימטרי.
  • אם על הקבוצות   מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
  • פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
  • אוסף התמורות על קבוצה   הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים.
  • פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.

ראו גם

עריכה

קישורים חיצוניים

עריכה
  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.