פתיחת התפריט הראשי

התמרת פורייה

מושג באנליזה הרמונית (מתמטיקה)
יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: הערך הוא כמעט דף נוסחאות. חסרים הסברים רחבים בהרבה על החשיבות והשימושים.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

התמרת פורייה או טרנספורם פורייה היא כלי מרכזי באנליזה הרמונית (אנ') שאפשר לתארו כפירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים (סינוסים וקוסינוסים או לחלופין אקספוננטים מרוכבים) וביצוע אנליזה מתמטית לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה. להתמרות פורייה יש שימוש נרחב מאוד בפיזיקה והנדסה ובכל תחום העוסק בפולסים וגלים, בפרט באופטיקה של גלים ומכניקת הקוונטים. התמרת פורייה היא אחד הכלים החשובים בהנדסת חשמל ומהווה את הבסיס המדעי לפיתוחים טכנולוגיים בתחומי התקשורת הספרתית, עיבוד אותות ומערכות ליניאריות, עיבוד תמונה וקידוד. כמו כן התמרת פורייה משמשת ככלי בתחומים רבים נוספים של המתמטיקה, למשל בתור כלי עזר לפתרון של משוואות דיפרנציאליות, או כלי לביצוע פירוק לגורמים של מספר על ידי מחשב קוונטי (אלגוריתם שור).

התמרת פורייה מאפשרת כתיבה של פונקציה נתונה בתור סכום ליניארי של פונקציות מחזוריות (נקראות גם הרמוניות, בשל הקרבה לצלילים מוזיקליים. ראו דוגמה בהמשך). בשל כך ניתן לראות את ההתמרה בתור מיפוי בין מרחב הזמן למרחב התדר. בפיזיקה של מצב מוצק ניתן להשתמש בהתמרת פורייה למעבר מהסריג הישיר (כלומר סריג המתאר את מבנה הגביש במרחב המקום) לסריג הופכי (סריג המתאר את אותו הגביש ב"מרחב הגל").

לדוגמה צליל מוזיקלי צלול ("תו" בודד) הוא למעשה גל קול המתנודד בזמן בתדר מסוים. התמרת פורייה משמשת ככלי חשוב בניתוח של צלילים: היא מאפשרת לנתח הקלטה של צלילים ולבודד את התדרים המרכיבים אותה. באופן כללי יותר התמרת פורייה מאפשרת לאתר בתוך פונקציה רכיבים מחזוריים, ולכן יש לה שימוש רחב בניתוח אותות ובעיבוד תמונה.

הגדרה פורמלית 1עריכה

מוטיבציה - פירוק לפונקציות הרמוניותעריכה

התמרת פורייה נוצרה מהצורך לפרק כל פונקציה, לצירוף של כמה פונקציות הרמוניות, כאשר פונקציה הרמונית מוגדרת כפונקציה מחזורית בעלת תדירות זוויתית  , ולפעמים נקראת בקיצור פשוט "הרמוניה" או "פונקציה הרמונית". הצורה הכללית של פונקציה הרמונית היא:

 .

צירוף ליניארי של כמה פונקציות כאלה נותן ביטוי מהצורה הכללית:

 

כאשר T זה זמן מחזור.

ואם מחשבים את המקדם   :

 ,

כאשר, בביטוי האחרון לשם מציאת המקדם, משתמשים, בדרך כלל בתוך   בערכים של הפונקציה מצורתה הרגילה. כלומר, בערכים מתוך הפונקציה המקורית.

  - המרחב של הפונקציה המותמרת - נקרא מרחב התדירות הזוויתית (או פשוט מרחב התדר) ואפשר לראות את המשרעת והפאזה של   כרכיבים של אות מחזורי בעל תדירות זוויתית  , ואילו למרחב המקורי קוראים מרחב הזמן.

משמעות העברה למרחב התדר היא שקיבלנו פונקציה קומפלקסית שמחזירה עבור כל תדירות את האמפליטודה והפאזה המתאימים על ידי מספר מרוכב (ערכו המוחלט הוא האמפליטודה והזווית שלו היא הפאזה)

וזה נותן כלי חזק מאוד לניתוח ההתנהגות של פונקציות מבחינת התדר.

דוגמה לשימוש בהתמרה: בקובצי שמע ניתן לפרק את גל הקול לפונקציות הרמוניות ולהוריד מהקובץ את התדירויות הגבוהות (על ידי מסנן "LOW PASS FILTER") שהאוזן לא שומעת אותם וכך להקטין משמעותית את נפח הקובץ.

התמרת פורייהעריכה

התמרת פורייה של פונקציה   מוגדרת כפונקציה   כך ש

 

(אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשית משיקולי נוחות). ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר. האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן אינטגרביליות בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב- . מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה   שהיא קבוצה צפופה ב- . בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל  , ומקבלים שהתמרת פורייה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג -   שהוא מרחב הילברט.

התמרת פורייה ההפוכהעריכה

באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה, זו ההתמרה של פונקציה   שניתנת על ידי

 ,

להתמרה זו קוראים התמרת פורייה ההפוכה.

אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית.

 
 

שכן

  (פונקציית הדלתא של דיראק).

הגדרה פורמלית 2עריכה

אפשר לרשום כל פונקציה  , שהיא פונקציה אינטגרבילית בריבוע לפי לבג (אפשר לרשום זאת בקיצור כך  ) כצירוף ליניארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא:

 

הפונקציה   נתונה על ידי

 

  נקראת "ההצגה של   במרחב התדר" בעוד שהפונקציה   נקראת "ההצגה של   במרחב הזמן".

ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של אורתוגונליות במרחב  .

טרמינולוגיה:

  • ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב התדר את הפונקציה המתאימה במרחב הזמן על פי משוואה (1) נקראת "התמרת פורייה ההפוכה".
  • ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב הזמן את הסט הרציף של המשרעות והפאזות עבור כל תדירות (למעשה, זוהי פונקציה במרחב התדר) על פי משוואה (2) נקראת "התמרת פורייה".
  • (לעיתים מחליפים בין המונחים הנ"ל בספרים שונים ).

הערה על סימונים וגורמי נרמולעריכה

מספר סימונים שונים נהוגים עבור טרנספורם פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך   .

להלן הגישות הנפוצות בנושא:

  • הוספת גורם הנרמול   באחד מכיווני ההתמרה.
  • הוספת גורם נרמול   לפני כל אחת מההתמרות.
  • הוספת גורם הנרמול   להגדרת המכפלה הפנימית.

גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה 2 היא הגישה הנפוצה בפיזיקה והנדסה. היא גם שכיחה במתמטיקה עיונית אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.

העיקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייהעריכה

מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבגעריכה

המרחב   הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג. מרחב זה, בצירוף המכפלה הפנימית

  הוא מרחב הילברט.

אוסף הפונקציות   מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שהיא מעין הכללה של בסיס אורתונורמלי, משמע:

 

כאשר הפונקציה   היא פונקציית הדלתא של דיראק. מערכת זו נקראת במתמטיקה "הבסיס ההרמוני" ואילו בפיזיקה קוראים לפונקציות אלה "גלים מישוריים".

במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע  . והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המצומד  .

התמרת פורייה כאופרטורעריכה

כמרחב וקטורי, הפונקציות יוצרות מרחב הילברט. התמרת פורייה היא טרנספורמציה ליניארית בין מרחב הילברט L2 למרחב הילברט הדואלי שלו (במקרה של מרחב הילברט המרחב הדואלי איזומטרי למרחב המקורי). כאופרטור, התמרת פורייה היא אופרטור ליניארי ובפרט יוניטרי, כלומר היא שומרת על גודל הנורמה ועל מכפלה פנימית.

סימונים נוספיםעריכה

לעיתים נהוג לסמן את ההתמרה -   - כפונקציה של הפונקציה המקורית שמחזירה פונקציה אחרת:

 

או בעזרת אופרטור ה"כובע" על הפונקציה המקורית:

 .

מאחר שסימן ה"כובע" פשוט יותר הוא יותר מקובל מהשימוש באותיות גדולות או באותיות מסולסלות. כמו כן, את התמרה פורייה ההפוכה נהוג לסמן על ידי כובע הפוך:

 .

לעיתים, כאשר הממשק הגרפי איננו מאפשר ציור "כובע" רחב, שמים את הביטוי המבוקש בסוגריים ואופרטור ה"כובע" (או הכובע ההפוך) מופיע מעליהם בדומה לסימון של חזקה.

התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד (באנגלית: DTFT)עריכה

התמרת פורייה בדידה היא למעשה טור פורייה.(כאשר עושים החלפת משתנים בין t לθ)

נניח ש-   הוא אות בזמן בדיד.
אזי התמרתו נתונה על ידי:  

כאשר תנאי מספיק לקיום ההתמרה הוא:  

וההתמרה ההפכית נתונה על ידי:  

נשים לב ש-   מחזורית במחזור  .

הסבר אינטואיטיבי על מחזוריות התדר:

נשים לב כי אות בזמן בדיד הוא בעצם הכפלה של הפונקציה בזמן רציף ב"רכבת הלמים" כאשר רכבת הלמים מוגדרת כך:


 

T הוא זמן המחזור של הרכבת.

מישור התדר "רגיש" לקפיצות חדות במישור הזמן, כלומר אם יש אי רציפות או שיפוע מאוד גדול בפונקציה זה גורר אחריו תדרים גבוהים (עקרון זה נובע מהכלל  שיובא בהמשך, משמעותו היא שגזירה של אות במרחב משפיעה בצורה ליניארית על מישור התדר, כך שהתדרים הגבוהים בקבלים אמפליטודה גבוהה עם עליית התדר )ולכן במכפלה של הפונקציה המקורית ברכבת הלמים שהיא מחזורית מישור התדר יתנהג כמו פונקציית ההלמים ויהיה מחזורי

אפשר גם להסביר את זה מבחינה מתמטית מהעקרון שמכפלה בזמן שקולה לקונבולוציה בתדר,


 


והתמרת פוריה של רכבת הלמים שווה לרכבת הלמים (עם זמן מחזור שונה ואמפליטודה שונה) ואם כן יוצא שהכפלת האות ברכבת הלמים בזמן תגרום לקונבולוציה של הספקטרום התדירותי של האות עם רכבת הלמים. ומהעקרון שקונבולוציה של כל פונקציה עם הלם משמעותה הזזה של הפונקציה למקומו של ההלם מתקבלת פונקציה מחזורית שכל מחזור בה הוא העתקה של הספקטרום התדירותי המקורי.

מהפיתוח המתמטי הזה עולה שאם דוגמים אות בזמן בדיד, החל מתדר דגימה מסוים (המכונה תנאי "ניקויסט") אפשר לשחזר את האות במלואו ללא איבוד שום מידע שהרי במישור התדר כל הספקטרום התדירותי של האות המקורי נשמר אלא ששוכפל אינסוף פעמים

נשים לב שנוצרה פה תופעה מעניינת: דגימה בזמן שקולה למחזוריות בתדר. ולהפך זה גם נכון, אם ניקח אות אין סופי שערכו שווה ל0 החל מזמן מסוים (בערך מוחלט) ונבדוק מהיא התמרת פוריה שלו, אחר כך נעשה הרחבה מחזורית של אותו האות כך שכדי לתאר אותו במישור התדר אנו צריכים לעבור לטור פוריה, נגלה שהטור פוריה המתקבל הוא בדיוק דגימה של התמרת פוריה המקורית, הרחבה מחזורית בזמן שקולה לדגימה בתדר.

התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד סופי (או מחזורי) (באנגלית: DFT)עריכה

עבור   המוגדרת על   
עבור m=0,1,...M-1.
ההתמרה במקרה זה היא טרנספורמציה ליניארית חח"ע ממרחב ה-M-יות על עצמו.

התמרה זו היא ההתמרה היחידה בה הסכימה היא סופית דבר שהופך אותה לשימושית מאוד עבור שימושי המחשב.

תכונותעריכה

ליניאריותעריכה

התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה הן ליניאריות. כלומר:

 

על תכונות של העתקות ליניאריות ראו בערך העתקה ליניארית.

משפט פלנשרל וזהות פרסבלעריכה

משפט פלנשרל קובע ש

 

זהות פרסבל היא מקרה פרטי - אך שימושי ביותר - של משפט פלנשרל.

 

הפירוש של תכונה זאת היא שימור הנורמה, כלומר - היוניטריות של התמרת פורייה.

העקרון הפיזיקלי של זהות פרסבל הוא שסך האנרגיה של האות במישור הזמן שווה לסך האנרגיה במישור התדר.

קונבולוציהעריכה

קונבולוציה מוגדרת באופן הבא:

 

התמרת פורייה מקיימת את הזהויות הבאות בקשר לקונבולוציה:

  •  
  •  

התכונות האלו של התמרת פורייה הופכות אותה לשימושית מאוד בחישובים מורכבים נומריים, במקום לעשות קונבולוציה (שהיא למעשה סכימה על כל המרחב של הכפלות של פונקציות), נוכל להתמיר את הפונקציות למרחב פורייה ושם לכפול אותן פעם אחת ולהחזיר את התוצאה בהתמרה ההופכית. ולעיתים רבות הדרך השנייה יותר מהירה חישובית.

הזזה בזמןעריכה

 

משמעות הדבר היא שהזזה במישור הזמן היא סיבוב ליניארי במישור התדר.

כדי להזיז פונקציה בשלמותה צריך להזיז את התדרים שבה בלי לפגוע בשלמות הפונקציה

צריך להזיז את התדרים הגבוהים יותר מהתדרים הנמוכים

נגזרתעריכה

התמרת פורייה מתנהגת בצורה נוחה במיוחד ביחס לפעולת הגזירה.

מאחר שמותר להכניס את סימן הגזירה תחת האינטגרל, קל לראות ש

 

ולכן

 

כלומר, גזירה במרחב הזמן שקולה פשוט לכפל ב   במרחב התדר.

תכונה שימושית זו נובעת מכך שהפונקציה המעריכית היא פונקציה עצמית של אופרטור הגזירה, שכן

 

הכללה למספר ממדיםעריכה

ההכללה לפונקציות ב   ממדים היא מיידית.

אם   פונקציה אינטגרבילית לבג, אזי הפונקציה   נקראת "ההצגה של f במרחב וקטור הגל" ונתונה על ידי

 

וההתמרה ההפוכה מחזירה את הפונקציה המקורית ומוגדרת על ידי

 

כאשר:

  •   הוא אינטגרל "נפחי" על כל המרחב (משמע  ).
  •   הוא מכפלה סקלרית ב  .

טבלת התמרות שימושיותעריכה

הטבלה הבאה מכילה מספר התמרות שימושיות.   ו   מציינות את ההתמרות של   ו   בהתאמה.

  פונקציה ההתמרה פירוש
1     ליניאריות
2     הזזה בקבוע
3     כפל בפאזה מרוכבת
4     שינוי סקלה
5     גזירה במרחב הזמן
6     גזירה במרחב התדר
7     קונבולוציה
8     אופרטור הצמוד
9     מכפלה
10     הדלתא של דיראק
11     -
12     -
13     -
14     קוסינוס
15     סינוס
16     גאוסיאן
17     התמרת פונקציית המלבן לפונקציית sinc
18     -
19     -
20     גל מרובע

שימושיםעריכה

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה