התפלגות היפרגאומטרית היא התפלגות של המשתנה המקרי הבדיד הסופר את ההוצאות המוצלחות (ללא החזרה וללא חשיבות סדר) שיצאו בקבוצה חלקית, כאשר ידוע מספר ההצלחות האפשריות בסדרת הניסויים כולה. הסימון
X
∼
H
G
(
N
,
D
,
n
)
{\displaystyle \ X\sim HG(N,D,n)}
X
{\displaystyle \ X}
D
{\displaystyle D}
N
{\displaystyle N}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
N
{\displaystyle N}
D
{\displaystyle D}
התפלגות היפרגאומטרית
מאפיינים
פרמטרים
N
∈
0
,
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle N\in 0,1,2,3,\dots \,}
D
∈
0
,
1
,
…
,
N
{\displaystyle D\in 0,1,\dots ,N\,}
n
∈
0
,
1
,
…
,
N
{\displaystyle n\in 0,1,\dots ,N\,}
פונקציית הסתברות
(
D
k
)
(
N
−
D
n
−
k
)
(
N
n
)
{\displaystyle {{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}
תוחלת
n
D
N
{\displaystyle nD \over N}
סטיית תקן
n
(
D
/
N
)
(
1
−
D
/
N
)
(
N
−
n
)
(
N
−
1
)
{\displaystyle {\sqrt {n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}}}
שונות
n
(
D
/
N
)
(
1
−
D
/
N
)
(
N
−
n
)
(
N
−
1
)
{\displaystyle n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}
פונקציה יוצרת מומנטים
(
N
−
D
n
)
(
N
n
)
2
F
1
(
−
n
,
−
D
;
N
−
D
−
n
+
1
;
e
t
)
{\displaystyle {\frac {N-D \choose n}{N \choose n}}\,_{2}F_{1}(-n,\!-D;\!N\!-\!D\!-\!n\!+\!1;\!e^{t})}
צידוד
(
N
−
2
D
)
(
N
−
1
)
1
2
(
N
−
2
n
)
[
n
D
(
N
−
D
)
(
N
−
n
)
]
1
2
(
N
−
2
)
{\displaystyle {\frac {(N-2D)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}
גבנוניות
[
N
2
(
N
−
1
)
n
(
N
−
2
)
(
N
−
3
)
(
N
−
n
)
]
{\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}
⋅
[
N
(
N
+
1
)
−
6
N
(
N
−
n
)
D
(
N
−
D
)
]
.
{\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}}\right].}
כך לדוגמה, התפלגות זו מתארת את מספר הכדורים הלבנים שמתקבלים כאשר מוציאים
n
{\displaystyle n}
N
{\displaystyle N}
D
{\displaystyle D}
ההסתברות לכך ש-
X
=
k
{\displaystyle \ X=k}
P
(
X
=
k
)
=
(
D
k
)
(
N
−
D
n
−
k
)
(
N
n
)
{\displaystyle P\left(X=k\right)={\frac {{D \choose k}{N-D \choose n-k}}{N \choose n}}}
היחס
P
(
X
=
k
+
1
)
P
(
X
=
k
)
=
(
D
−
k
)
(
n
−
k
)
(
k
+
1
)
(
N
−
D
−
n
+
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {P\left(X=k+1\right)}{P\left(X=k\right)}}={\frac {(D-k)(n-k)}{(k+1)(N-D-n+k+1)}}}
סדרה היפרגאומטרית , ומכאן שמה של ההתפלגות.
אחת הדוגמאות הנפוצות לשימוש בהתפלגות היפרגאומטרית היא הוצאת כדורים מכד ללא החזרה.
בדוגמה ישנו כד עם D כדורים בצבע א' ו-S כדורים בצבע ב' ומוציאים n כדורים מהכד ללא החזרה, כדי לחשב את המשתנה המקרי של מס' הכדורים מצבע א' שייצאו מהכד יש להציב את הנתונים בנוסחה כאשר
N
=
D
+
S
{\displaystyle N=D+S}
![{\displaystyle {\frac {(N-2D)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2951c09a7efa8a1b66a01cbdf643fa58b8bc32d)
![{\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132626c38e0bba75b44816aa2853e354ab4f29ba)
![{\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23beea0bdef3c3614ce3fe01a91c104b30b62fbb)
