מרחב וקטורי

(הופנה מהדף וקטור (אלגברה))

באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שאבריה, וקטורים, סגורים לחיבור ולכפל בסקלר. וקטור מסומן באחת מהאפשרויות הבאות: .

בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של אותו מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.

הגדרהעריכה

חבורה אבלית   ביחס לחיבור, היא מרחב וקטורי מעל השדה  , אם מוגדרת פעולת כפל סקלרי  , שמסמנים ב- , כך שמתקיימות האקסיומות

  1. לכל   ב-  מתקיים  .
  2. קיבוציות כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ): לכל   ולכל  , מתקיים:  
  3. פילוגיות סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): לכל   ולכל  , מתקיים:  
  4. פילוגיות וקטורים: לכל   וכל   מתקיים:  

דרישת החילופיות של החיבור ב-V נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי  , פעם אחת לפי קיבוציות של סקלרים, ופעם שנייה לפי קיבוציות של וקטורים). ובכל זאת נהוג לציינה לשם הנוחות.

דוגמאותעריכה

  • אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
  • המרחב   של n-יות המורכבות מאיברים בשדה   כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט:   ו- . האיבר הנייטרלי לחיבור הוא  .
  • מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
    • מרחב הפולינומים מעל שדה F. תת-המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
  • מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
  • מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
  • אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה X כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה  , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

מונחיםעריכה

  • פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה. קבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.
  • בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו.
  • ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת-מרחב וקטוריעריכה

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה   של המרחב הווקטורי   מעל השדה   מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

  1.   אינה ריקה (מספיק לדעת ש- ).
  2.   סגורה ביחס לחיבור. כלומר - לכל   מתקיים  .
  3.   סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל   ו-  מתקיים  .

יריעת גרסמן מקודדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של V.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה