זוג סדור

זוג סדור הוא זוג של שני עצמים מתמטיים, עם חשיבות לסדרם. סימונו של הזוג הסדור: ⟨a,b⟩ כאשר a הוא האיבר הראשון בזוג הסדור ו-b הוא האיבר השני.

כמו כן, זוג סדור הוא איבר של מכפלה קרטזית. זוהי קבוצה בת שני איברים (שנסמנם לצורך הדוגמה a,b), כאשר יש חשיבות לסדר הופעתם והם אינם חייבים להיות שונים, כלומר יש איבר "ראשון" ו"שני" והם יכולים להיות זהים, בניגוד לקבוצה רגילה בה אין לסדר חשיבות ואין משמעות להופעת איבר פעמיים.

כאשר הזוג הסדור משמש לציון נקודה במישור, האיבר הראשון (השמאלי) בזוג נקרא גם אבסציסה (Abscissa) והשני (הימני) נקרא גם אוֹרְדִינָּטָה (Ordinate).

זוג סדור נכתב בתוך סוגריים, כאשר פסיק מפריד בין האיבר הראשון לאיבר השני: (a,b).

שני זוגות סדורים שווים אם ורק אם האיבר הראשון שלהם זהה וגם האיבר השני שלהם זהה. כלומר (a,b)=(c,d) אם ורק אם a=c וגם b=d. בכתיבה פורמלית:

זאת לעומת הקבוצות הבסיסיות (על פי תורת הקבוצות), שבהן הסדר אינו חשוב, וכך {a,b} = {b,a}. ובכתיבה פורמלית:

זוג סדור כקבוצהעריכה

בשנת 1921 המתמטיקאי היהודי-פולני קזימיר קורטובסקי מצא דרך להגדיר זוג סדור כקבוצה שאם יוחלף בה סדר האיברים, היא כבר לא תהווה את אותה הקבוצה, למרות שבדרך כלל סדר האיברים בקבוצה בסיסית אינו חשוב. הנה נוסחתה:

 

נוסחה זו משמשת בצורה נרחבת בתורת הקבוצות כדי להוכיח הרבה מאוד משפטים מחושבים הנוצרים בהיסק ממנו.

הגדרה זו נסמכת על כך שמספר האיברים בקבוצה תמיד חשוב לצורך זיהויה או השוואתה עם קבוצה אחרת, ושתי קבוצות המכילות מספר איברים שונה, בהכרח אינן זהות זו לזו.

הקבוצה הסדורה, המוגדרת בנוסחתו של קורטובסקי, מכילה שני איברים, כמו הזוג הסדור, אלא ששני אברי הקבוצה הסדורה הם בעצמם קבוצות, נקרא להם איבר-קבוצה-א' ואיבר-קבוצה ב'. איבר-קבוצה-א' מכיל רק את "איבר המוצא" a - האיבר הראשון של הזוג הסדור (a,b), ואילו איבר-קבוצה-ב' מכיל בעצמו שני איברים: את איבר המוצא a ואיבר היעד b, כלומר את האיבר הראשון של הזוג הסדור ואת האיבר השני שלו.

לקבוצה המוגדרת על פי נוסחת קורטובסקי, אין זהות עם זוג סדור בסדר מהופך מהמקור (b,a), כי עכשיו b תופיע הן באיבר-קבוצה-א' והן באיבר-קבוצה-ב' בעוד a הפעם תופיע רק באיבר-קבוצה-ב'. ואם איבר a אינו זהה לאיבר b, הקבוצה שהוגדרה על פי (a,b) לא תהיה זהה לקבוצה שהוגדרה על ידי (b,a).

n-יה סדורה - סדר מספרים קבועעריכה

הכללה של זוג סדור למקרה הכללי של מספר כלשהו של רכיבים נקרא n-יה סדורה (הנהגית בעברית במלעיל: "אֶנְיָה סדורה". שימו לב אות n היא האות האנגלית הקטנה N, ולא האות העברית ח).

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה