חבורה פשוטה

במתמטיקה, חבורה פשוטה היא חבורה שאין לה תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית, כלומר תת-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן ו-.

לפי משפט ז'ורדן-הולדר ההצגה של חבורה סופית על ידי סדרת הרכב היא יחידה, כאשר הגורמים של סדרת ההרכב הן חבורות פשוטות. מכאן החשיבות הרבה שיש לחבורות פשוטות בתור אבני הבניין של כל החבורות הסופיות, בדומה למספרים הראשוניים שמרכיבים את המספרים השלמים.

המיון של החבורות הפשוטות הסופיות הושלם ב-1982 לאחר מאמצים משותפים של מתמטיקאים רבים.

דוגמאות

עריכה

לדוגמה עבור   קיימת הסדרה הנורמלית   כאשר   חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4 ו-  חבורת הארבעה של קליין.

מאידך, עבור  ,   פשוטה.

  • חבורות המטריצות   הן פשוטות, אלא אם   והשדה   הוא בן 2 או 3 איברים.

לפי משפט פייט-תומפסון, כל חבורה מסדר אי זוגי היא פתירה. משפט זה נחשב לצעד המשמעותי הראשון בהוכחת משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות. מן המיון השלם עולה כי הסדר של כל חבורה פשוטה, פרט לחבורות סוזוקי, מתחלק ב-3.

מושגים קרובים

עריכה

אם   חבורה מושלמת (כלומר,  ) וחבורת המנה   פשוטה, אז החבורה   היא קוואזי-פשוטה (quasisimple). לחבורה פשוטה  , כל תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים   המכילה את כל האוטומורפיזמים של הצמדה נקראות חבורות כמעט פשוטות (almost simple).

לדוגמה, כאשר   פשוטה, החבורה   היא קוואזי-פשוטה, והחבורה   כמעט פשוטה.

מקורות

עריכה
  • The Finite Simple Groups, R.A.Wilson, Springer, 2009.

קישורים חיצוניים

עריכה