חבורות ההומוטופיה היחסיות

בתורת ההומוטופיה, חבורות ההומוטופיה היחסיות הן חבורות המותאמות אל מרחב טופולוגי ביחס לתת מרחב שלו, ונותנות מידע על ההומוטופיה של המרחב ביחס לתת המרחב. הן מכלילות את חבורות ההומוטופיה של מרחב, וקשורות אליהן בעזרת סדרה מדויקת הנותנת מידע על חבורות ההומוטופיה ועוזרת לחשבן.

הגדרה

הגדרה בעזרת מרחב הלולאות

יהי $X$ מרחב טופולוגי ויהיו $A,B\subseteq X$ תתי מרחבים. נסמן $I=[0,1]$.

נגדיר $\Omega (X,A,B)=\{\omega \in X^{I}:w(0)\in A,w(1)\in B\}$ - זהו מרחב הלולאות ב-$X$ שמתחילות בקבוצה $A$ומסתיימות ב-$B$. זהו תת-מרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה על $X^{I}$.

כעת, נגדיר: $\pi _{n}(X,A,*)=\pi _{n-1}(\Omega (X,A,*))$ - חבורת ההומוטופיה היחסית. מבנה זה הוא חבורה עבור $n\geq 2$, וחבורה אבלית עבור $n\geq 3$ (כי זה נכון עבור חבורות ההומוטופיה הרגילות מסדר אחד פחות). התאמה זו מהווה פונקטור קו-וריאנטי.

למשל, עבור $n=2$ נקבל ש-$\pi _{2}(X,A,*)$ היא החבורה של לולאות סגורות בלולאות שמתחילות בתוך $A$ ומסתיימות בנקודה קבועה $*$.

הגדרה בעזרת מחלקות הומוטופיה

ההגדרה לעיל נראית מעט לא טבעית, שכן לא נראה בבירור מה הקשר להומוטופיה של המרחב. על כן, נציב הגדרה שקולה.

נסמן $J^{n-1}=\partial I^{n-1}\times I\cup I^{n-1}\times 0\subset I^{n-1}\times I=I^{n}$ - זוהי ההיפרקובייה שהוציאו ממנה את הפנים וגם את פנים אחת הפאות. נביט באוסף ההעתקות עד כדי שקילות הומוטופית: $(I^{n},\partial I^{n},J^{n-1})\to (X,A,*)$ - כלומר, העתקות מהקוביה למרחב, הממפות את$\partial I^{n}$ לתוך $A$ ואת $J^{n-1}$ לנקודה. את אוסף מחלקות השקילות נסמן $[(I^{n},\partial I^{n},J^{n-1}),(X,A,*)]$. על אוסף זה מבנה טבעי של חבורה, בה הפעולה היא שרשור (כמו בחבורות ההומוטפיה), והיא נקראת חבורת ההומוטופיה היחסית.

זוהי הכללת הרעיון של הגדרת החבורה היסודית, ואכן כאשר $A=*$ מתקיים $\pi _{n}(X,*,*)\cong \pi _{n}(X,*)$.

שרשרת מדויקת של חבורות הומוטופיה

חבורות ההומוטופיה היחסיות מהוות כלי לחישוב חבורות הומוטופיה מסוימות, ובכך מהוות מעין רדוקציה - ניתן לחשב את החבורות היחסיות ביחס לתת מרחב כלשהו, ואת חבורות ההומוטופיה של תת-המרחב, ובכך לקבל מידע על החבורות של המרחב כולו.

פורמלית, נביט בהעתקות ההכלה $i:A\to X$, $j:(X,*)\to (X,A)$. הן משרות העתקות $i_{*}:\pi _{n}(A,*)\to \pi _{n}(X,*)$, $j_{*}:\pi _{n}(X,*){\overset {\cong }{\leftrightarrow }}\pi _{n}(X,*,*)\to \pi _{n}(X,A,*)$, ועל כן מתקבלת סדרה:

$\pi _{n}(A,*){\overset {i_{*}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,*){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,*)$

כדי להשלים אותה לסדרת מדויקת שקושרת את כל חבורות ההומוטופיה, נצטרך להגדיר העתקה מקשרת $\pi _{n}(X,A,*)\to \pi _{n-1}(A,*)$. כדי לעשות זאת, נביט בהעתקה $d:\Omega (X,A,*)\to A$ הנתונה על ידי $d(\omega )=w(0)$. לפי ההגדרה הראשונה, העתקה זו משרה העתקה כדרוש לעיל על חבורות ההומוטופיה, אותה נסמן $\partial =d_{*}$. לסיכום, מתקבלת סדרה:

$\pi _{n}(A,*){\overset {i_{*}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,*){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,*){\overset {\partial }{\longrightarrow }}\pi _{n-1}(A,*)\longrightarrow \dots \longrightarrow \pi _{1}(X,A,*)\longrightarrow \pi _{0}(A,*)\longrightarrow \pi _{0}(X,*)$

משפט: הסדרה לעיל היא סדרה מדויקת.

בעזרת סדרה מדויקת זו ניתן למצוא מספר חבורות בסיסיות, והיא טענה בסיסית וחשובה בתורת ההומוטופיה.

מסקנה לפיברציות סר

העתקה $\pi :E\to B$ נקראת פיברציית סר, אם ניתן להרים הומוטופיות ביחס לכל $I^{n}$. למשל, כל אגד סיבים הוא פיברציית סר. עבור פיברציות סר מתקיימת הטענה הבאה:

משפט: תהי $\pi :E\to B$ פיברציית סר, ועבור $*\in E$ ניקח את הסיב $F=\pi ^{-1}(\{\pi (*)\})$. אזי, ההעתקה המושרית $\pi _{*}:\pi _{n}(E,F,*)\to \pi _{n}(B,*)$ היא איזומורפיזם.

כעת, אם נחזור לסדרה המדויקת ונשתמש בהתאמה הנ"ל, נקבל שרשרת:

$\pi _{n}(F,*){\overset {i_{*}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(E,*){\overset {\pi _{*}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(B,*){\overset {\partial }{\longrightarrow }}\pi _{n-1}(F,*)\longrightarrow \dots \longrightarrow \pi _{1}(B,*)\longrightarrow \pi _{0}(F,*)\longrightarrow \pi _{0}(E,*)$

לסדרה המתאימה לפיברציית סר (ובעיקר לאגד סיבים) שימושים רבים בחישוב חבורות ההומוטופיה, ובעיקר כאשר הסדרה מתפצלת, כמו בחישוב חבורות ההומוטופיה של מרחבים פרויקטיביים.