פתיחת התפריט הראשי

חבורת אוילר (נקראת בדרך כלל חבורת ההפיכים מודולו n) היא החבורה של המספרים השלמים הזרים ל-n (כלשהו), עם פעולת הכפל מודולו n. לחבורות אלה תפקיד יסודי בתורת המספרים האלמנטרית: לאונרד אוילר נעזר במבנה הזה - עוד לפני שתורת החבורות באה לעולם - כדי להוכיח את ההכללה של המשפט הקטן של פרמה, הידועה בשם "משפט אוילר".

מקובל לסמן את החבורה ב-, או (הסימון האחרון מדגיש כי זוהי חבורת ההפיכים בחוג ). בחבורת אוילר של n יש איברים, כאשר היא פונקציית אוילר. מנקודת מבט זו, משפט אוילר הוא משפט לגראנז' המיושם לחבורת אוילר.

לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים . קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר לאוקלידס ומופיעה בספרו "יסודות": אם a ו- b שני מספרים הזרים ל- n, אז גם המכפלה ab זרה ל- n. במלים אחרות, הקבוצה סגורה לכפל. בנוסף לזה, אם a זר ל- n אז אלגוריתם אוקלידס המוכלל מאפשר למצוא מספרים שלמים כך ש- , ובחישוב מודולו n מתקבל ש- u הוא ההופכי של a (הנקרא הופכי כפלי מודולרי של a); מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי - ולכן היא חבורה.

חבורת אוילר מאגדת את התכונות הבסיסיות של החישוב בשאריות מודולו n, ואין פלא שהיא מופיעה תדיר בשימושים של תורת המספרים; לדוגמה, בשיטת ההצפנה RSA.

בחישוב המבנה של חבורת אוילר עסק גאוס, שמצא כי החבורה ציקלית בדיוק כאשר n שווה ל-1, 2, 4, חזקה של מספר ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה כזו (ראו איבר פרימיטיבי).

המבנה של חבורת אוילרעריכה

על-פי ההגדרה, חבורת אוילר היא חבורת האיברים ההפיכים של החוג  . אם המספרים n ו- m זרים זה לזה, אפשר להוכיח באמצעות משפט השאריות הסיני, בין אם באופן ישיר ובין אם בעזרת הזהות  , את האיזומורפיזם  . מכאן יוצא שכדי לתאר את חבורת אוילר כמכפלה של חבורות ציקליות, די לתאר חבורה זו עבור n שהוא חזקת ראשוני.

כאשר p ראשוני, חבורת אוילר   היא ציקלית. לדוגמה, החבורה   נוצרת על ידי 2. לעובדה שתמיד קיימים יוצרים קטנים יחסית של החבורה יש חשיבות רבה במבחני ראשוניות. טענה זו, על הציקליות של  , היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר - תת-חבורה כפלית, סופית, של שדה היא תמיד ציקלית. כדי להוכיח את הטענה, יש להבחין כי למשוואה   יש (בשדה) לכל היותר d פתרונות; מצד שני, אם d מחלק את p-1, אז הפולינום   מחלק את הפולינום  , וכך אפשר לראות שלמשוואה יש בדיוק d פתרונות. אם   יסמן את מספרם של המספרים שסדרם שווה ל- d, אפשר להוכיח באינדוקציה על d את השוויון  .

כדי לראות שחבורת אוילר ציקלית גם עבור חזקות  , די להצביע על איבר מסדר   (מכפלתו של איבר כזה באיבר מסדר p-1 היא מסדר  ). ואכן, כאשר p אי-זוגי, האיבר p+1 הוא כזה. לדוגמה, בחבורה  , לאיבר 2057 יש סדר 4, ואילו ל-6 יש סדר 625. המכפלה, 2967, יוצרת את החבורה.

במקרה של חזקת 2 החבורה אינה ציקלית, ובמקום זה   (כאשר  ). את החבורה יוצרים המספרים  .

כך אפשר לפרק את חבורת אוילר באופן כללי. למשל,  , ומכאן שהאקספוננט של חבורה זו הוא  . במלים אחרות, לכל a שאינו מתחלק ב-2 או ב-5, מתקיים  , והמספר 80 הוא הקטן ביותר בעל תכונה זו.

את האקספוננט של חבורת אוילר מסדר n מסמנים ב- , בעוד שפונקציית אוילר של   מתקבלת מהכפלת כל המספרים  , הפונקציה   שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל המספרים האלה (לאחר שהגורם   מוחלף ב- , אם  ).

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה