עריכה
אלגברה פשוטה מרכזית שדה
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
אלגברה פשוטה סוף ממדית שמרכזה הוא השדה
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
אלגברת חילוק מרכזית (Central division algebra) היא אלגברה פשוטה מרכזית עם חילוק .
לפי משפט ודרברן-ארטין , כל אלגברה פשוטה מרכזית סוף-ממדית איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק; חוג זה וגם סדר אלגברת המטריצות יחידים עד כדי איזומורפיזם. אלגברת החילוק הזו נקראת האלגברה הבסיסית (היא בבסיס האלגברה המקורית).
נאמר ששתי אלגברות פשוטות מרכזיות
R
1
,
R
2
{\displaystyle {R}_{1},{R}_{2}}
שקולות בראואר אם לשתיהן אותה אלגברה בסיסית . נסמן זאת
R
1
∼
B
r
R
2
{\displaystyle {R}_{1}{\sim }_{Br}{R}_{2}}
R
1
∼
B
r
R
2
{\displaystyle {R}_{1}{\sim }_{Br}{R}_{2}}
n
1
,
n
2
{\displaystyle n_{1},n_{2}}
M
n
1
(
R
1
)
≅
M
n
2
(
R
2
{\displaystyle M_{n_{1}}({R}_{1})\cong M_{n_{2}}({R}_{2}}
יחס שקילות , ואת המחלקה של אלגברה פשוטה מרכזית
R
{\displaystyle R}
[
R
]
{\displaystyle [R]}
[
F
]
=
{
M
n
(
F
)
:
n
≥
1
}
{\displaystyle [\mathbb {F} ]=\{{M}_{n}(\mathbb {F} ):n\geq 1\}}
חבורת בראואר היא החבורה הבאה:
* האיברים הם אוסף מחלקות השקילות כנ"ל.
* הפעולה היא
[
R
1
]
⋅
[
R
2
]
=
[
R
1
⊗
R
1
]
{\displaystyle [{R}_{1}]\cdot [{R}_{2}]=[{R}_{1}\otimes {R}_{1}]}
⊗
{\displaystyle \otimes }
מכפלה הטנזורית .
* איבר היחידה הוא
[
F
]
{\displaystyle [\mathbb {F} ]}
* האיבר ההופכי של
[
R
]
{\displaystyle [R]}
[
R
o
p
]
{\displaystyle [{R}^{op}]}
אלגברה המנוגדת . אוסף זה כפי שהוגדר מהווה חבורה קומוטטיבית, הנקראת חבורת בראואר של השדה
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
B
r
(
F
)
{\displaystyle Br(\mathbb {F} )}
אם
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
שדה סגור אלגברית , אז
B
r
(
F
)
=
{
[
F
]
}
{\displaystyle Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
M
n
(
F
)
{\displaystyle {M}_{n}(\mathbb {F} )}
לפי משפט Tsen, אם
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
שדה סגור אלגברית אז
B
r
(
F
(
t
)
)
{\displaystyle Br(\mathbb {F} (t))}
במקרה
F
=
R
{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }
שדה הממשיים , מתקיים
B
r
(
F
)
=
{
[
R
]
,
[
H
]
}
{\displaystyle Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {R} ],[\mathbb {H} ]\}}
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
אלגברת הקווטרניונים של המילטון . זה נכון לפי משפט של פרובניוס , הקובע כי אלגברת החילוק היחידה מעל הממשיים היא אלגברת הקווטרניונים . לפי המשפט הקטן של ודרברן , כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה. לכן, אם
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
שדה סופי , אז
B
r
(
F
)
=
{
[
F
]
}
{\displaystyle Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}}
עריכה
תהי
L
/
F
{\displaystyle \mathbb {L} /\mathbb {F} }
הרחבת שדות .
ההעתקה
B
r
(
F
)
→
B
r
(
L
)
{\displaystyle Br(\mathbb {F} )\rightarrow Br(\mathbb {L} )}
[
R
]
↦
[
R
⊗
F
L
]
{\displaystyle [R]\mapsto [R{\otimes }_{\mathbb {F} }\mathbb {L} ]}
מוגדרת היטב , ומהווה הומומורפיזם חבורות. העתקה זו מכונה הצמצום (Restriction) ומסומנת
r
e
s
L
/
F
{\displaystyle {res}_{\mathbb {L} /\mathbb {F} }}
גרעין שלה נקרא חבורת בראואר היחסית (relative Brauer group), המסומנת
B
r
(
L
/
F
)
{\displaystyle Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )}
[
R
]
∈
B
r
(
L
/
F
)
{\displaystyle [R]\in Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )}
R
⊗
L
∼
B
r
L
{\displaystyle R\otimes \mathbb {L} {\sim }_{Br}\mathbb {L} }
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
שדה מפצל של האלגברה
R
{\displaystyle R}
הסגור האלגברי
F
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
R
⊗
F
(
F
¯
)
∼
B
r
M
n
(
F
¯
)
{\displaystyle R{\otimes }_{\mathbb {F} }({\overline {\mathbb {F} }}){\sim }_{Br}{M}_{n}({\overline {\mathbb {F} }})}
n
2
{\displaystyle {n}^{2}}
n
{\displaystyle n}
דרגה של
R
{\displaystyle R}
n
=
d
e
g
(
R
)
{\displaystyle n=deg(R)}
אינדקס של
R
=
M
t
(
D
)
{\displaystyle R={M}_{t}(D)}
D
{\displaystyle D}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
i
n
d
(
R
)
{\displaystyle ind(R)}
d
e
g
(
R
)
=
t
⋅
i
n
d
(
R
)
{\displaystyle deg(R)=t\cdot ind(R)}
לתת-שדות מקסימליים של האלגברה מקום מרכזי בתאוריה:
משפט :שדה
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
R
{\displaystyle R}
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
R
′
{\displaystyle R'}
R
{\displaystyle R}
האקספוננט של אלגברה
R
{\displaystyle R}
סדר של
[
R
]
∈
B
r
(
F
)
{\displaystyle [R]\in Br(\mathbb {F} )}
e
x
p
(
R
)
{\displaystyle exp(R)}
e
x
p
(
R
)
|
d
e
g
(
R
)
,
e
x
p
(
R
)
|
i
n
d
(
R
)
{\displaystyle exp(R)|deg(R),exp(R)|ind(R)}
i
n
d
(
R
)
{\displaystyle ind(R)}
e
x
p
(
R
)
{\displaystyle exp(R)}
חבורה מפותלת , כלומר חבורה בה לכל איבר סדר סופי.
לכל מספר
m
{\displaystyle m}
B
r
(
F
)
m
{\displaystyle {Br(\mathbb {F} )}_{m}}
m
{\displaystyle m}
g
c
d
(
[
L
:
F
]
,
m
)
=
1
{\displaystyle gcd([\mathbb {L} :\mathbb {F} ],m)=1}
B
r
(
F
)
m
{\displaystyle {Br(\mathbb {F} )}_{m}}
B
r
(
L
)
m
{\displaystyle {Br(\mathbb {L} )}_{m}}
עריכה
עריכה
דרך הגדרה שקולה לחבורת בראואר היא בעזרת חבורת הקוהומולוגיה הראשונה של החבורה הליניארית הכללית הפרויקטיבית -
P
G
L
n
(
K
)
=
G
L
n
(
K
)
/
Z
(
G
L
n
(
K
)
)
{\displaystyle {PGL}_{n}(\mathbb {K} )={GL}_{n}(\mathbb {K} )/Z({GL}_{n}(\mathbb {K} ))}
תהי
K
/
F
{\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} }
הרחבת שדות עם חבורת גלואה
G
=
G
a
l
(
K
/
F
)
{\displaystyle G=Gal(\mathbb {K} /\mathbb {F} )}
נסמן ב
C
S
A
K
(
n
)
{\displaystyle CSA_{\mathbb {K} }(n)}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
אלגברות הפשוטות המרכזיות מדרגה
n
{\displaystyle n}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
C
S
A
K
(
m
)
×
C
S
A
K
(
n
)
→
C
S
A
K
(
m
n
)
{\displaystyle CSA_{\mathbb {K} }(m)\times CSA_{\mathbb {K} }(n)\rightarrow CSA_{\mathbb {K} }(mn)}
מכפלה טנזורית , היות ששדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של המכפלה הטנזורית שלהן.
יחס השקילות שקולים בראואר
⋃
n
∈
N
C
S
A
K
(
n
)
{\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{{CSA}_{\mathbb {K} }(n)}}
B
r
(
K
/
F
)
{\displaystyle Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )}
⋃
K
B
r
(
K
/
F
)
{\displaystyle \bigcup _{\mathbb {K} }{Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )}}
הרחבות הגלואה הסופיות.
כעת, נצטט את המשפט החשוב הבא:
משפט : יש התאמה חד-חד-ערכית:
C
S
A
n
(
K
)
↔
H
1
(
G
,
P
G
L
n
(
K
)
)
{\displaystyle {CSA}_{n}(\mathbb {K} )\leftrightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb {K} ))}
ממשפט זה יחד עם הפעולה
C
S
A
K
(
m
)
×
C
S
A
K
(
n
)
→
C
S
A
K
(
m
n
)
{\displaystyle CSA_{\mathbb {K} }(m)\times CSA_{\mathbb {K} }(n)\rightarrow CSA_{\mathbb {K} }(mn)}
λ
m
n
:
C
S
A
K
(
n
)
×
H
1
(
G
,
P
G
L
m
(
K
)
)
→
H
1
(
G
,
P
G
L
m
n
(
K
)
)
{\displaystyle {\lambda }_{mn}:{CSA}_{\mathbb {K} }(n)\times {H}^{1}(G,{PGL}_{m}(\mathbb {K} ))\rightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{mn}(\mathbb {K} ))}
משפט :
λ
m
n
{\displaystyle {\lambda }_{mn}}
כלומר, אפשר לשכן חבורות קוהומולוגיה כנ"ל, ולכן נגדיר
H
1
(
G
,
P
G
L
∞
(
K
)
)
=
⋃
n
∈
N
H
1
(
G
,
P
G
L
n
(
K
)
)
{\displaystyle {H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{{H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb {K} ))}}
גבול ישר ביחס להכלה כנ"ל). כעת, נגדיר
H
1
(
F
,
P
G
L
∞
)
=
⋃
K
H
1
(
G
,
P
G
L
∞
(
K
)
)
{\displaystyle {H}^{1}(\mathbb {F} ,{PGL}_{\infty })=\bigcup _{\mathbb {K} }{{H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))}}
הרחבות הגלואה
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
סגור ספרבילי של
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
המשפט המרכזי הוא:
משפט
B
r
(
K
/
F
)
≅
H
1
(
G
,
P
G
L
∞
(
K
)
)
{\displaystyle Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )\cong {H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))}
B
r
(
F
)
≅
H
1
(
F
,
P
G
L
∞
)
{\displaystyle Br(\mathbb {F} )\cong {H}^{1}(\mathbb {F} ,{PGL}_{\infty })}
Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, AMS, 447-461
Central Simple Alge~~~~ and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 29-33
![{\displaystyle [R]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131ca25b1a7ce46aec6c01f4303f155cba816027)
![{\displaystyle [\mathbb {F} ]=\{{M}_{n}(\mathbb {F} ):n\geq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d257bb65a46e83f1e0f455534153c62e976e8fcf)
![{\displaystyle [{R}_{1}]\cdot [{R}_{2}]=[{R}_{1}\otimes {R}_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f1cbaee1732a4ae708790edff01c2e37f25997)
![{\displaystyle [\mathbb {F} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529dac710d92982784c03d18f130fd794a0a7c73)
![{\displaystyle [{R}^{op}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e331d678c67cb587de5ebefec815909efa48100)
![{\displaystyle Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e5816b45c70f6f99635e6b212016edc5f3e849)
![{\displaystyle Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {R} ],[\mathbb {H} ]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d581b49e7c17d17ab63ab94c272fe298d7882dac)
![{\displaystyle [R]\mapsto [R{\otimes }_{\mathbb {F} }\mathbb {L} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3367273adfefdbdb97941ddb817559e4df88a656)
![{\displaystyle [R]\in Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f48199ceedbea01e8e66bda90b83c7a513f668)
![{\displaystyle [R]\in Br(\mathbb {F} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7003491367681296f73b82b153a88f5a40fa8f1a)
![{\displaystyle gcd([\mathbb {L} :\mathbb {F} ],m)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c404877b49bb56f2b293028bc49f8dd1658ee9)
