חבורת הייזנברג

חבורה

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל , עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

הגדרהעריכה

יהי   חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג   היא החבורה שאיבריה הם המטריצות:  , כאשר  . הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל:  

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים   יהיו הפיכים בעצמם): .

חבורת הייזנברג מסדר   היא:  .

דוגמאותעריכה

חבורת הייזנברג הממשיתעריכה

כאשר החוג   הוא שדה המספרים הממשיים  , מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

חבורת הייזנברג הבדידהעריכה

כאשר החוג   הוא חוג המספרים השלמים  , מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי: 

לחבורה הייצוג הבא:  , כאשר   הם כדלעיל ו- .

במקרה זה, האיבר   יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה .

בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו[1].

מעל שדה סופיעריכה

חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי   היא מסדר   ומאקספוננט  . ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

 

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות(אנ') - חבורת-p בה המרכז   איזומורפי ל-  וחבורת המנה   היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר  .

במקרה של  , מתקבלת החבורה הדיהדרלית  .

אלגברת לי המתאימהעריכה

לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

 ,

עם הבסיס הבא:

 

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

 

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

  1. ^ Moon Duchin, Michael Shapiro, The Heisenberg group is pan-rational, Advances in Mathematics 346, 2019-04-13, עמ' 219–263 doi: 10.1016/j.aim.2019.01.046