תחום פרופר

באלגברה קומוטטיבית, תחום פרופר (Prüfer domain) הוא תחום שלמות, שבו כל אידיאל נוצר סופית (שונה מאפס) הוא אידיאל הפיך (ראו הגדרה להלן). תחומים אלה מהווים אחת ההכללות החשובות ביותר של תחום דדקינד, תוך ויתור על הנחת הנותריות. תחומי פרופר הם תחומי השלמות שהם תורשתיים למחצה.

את החוגים האלו החל ללמוד היינץ פרופר ב-1932 (השם "תחומי פרופר" ניתן להם ב-1956 בספרם של אלי קרטן וסמואל איילנברג), והם הפכו עד מהרה לאחד מהנושאים המרכזיים בחקר תחומי השלמות, בעיקר בשליש האמצעי של המאה ה-20.

הגדרות שקולות

הנוכחות של תחומי דדקינד בגאומטריה אלגברית ובתורת המספרים האלגברית נובעת בין השאר מכך שאפשר להגדיר אותם בדרכים שונות רבות. גם לתחומי פרופר יש הגדרות שקולות המשלבות רעיונות מכיוונים שונים:

תחום שלמות $R$ הוא פרופר אם ורק אם הוא מקיים לפחות אחת מהתכונות השקולות הבאות (ואז הוא מקיים את כולן):

1. כל אידיאל נוצר סופית $I$ (שונה מאפס) הוא הפיך, כלומר, יש אידיאל שברי נוצר סופית $J$ כך ש-$IJ=R$ (בשפה מפורשת יותר, לכל $a_{1},\dots ,a_{n}\in R$ קיימים $b_{1},\dots ,b_{n},c\in R$ כך שלכל $i,j$ מתקיים $c|b_{i}a_{j}$, ו- $a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=c$).
2. אוסף האידיאלים השבריים הנוצרים סופית מהווה חבורה.
3. כל מודול נוצר סופית חסר פיתול הוא פרויקטיבי.
4. כל מודול חסר פיתול הוא שטוח.
5. כל על-חוג הוא שטוח, כמודול מעל $R$.
6. כל אידיאל הוא שטוח.
7. כל אידיאל נוצר סופית הוא שטוח.
8. כל אידיאל נוצר סופית הוא פרויקטיבי (כלומר החוג תורשתי למחצה).
9. המכפלה הטנזורית של שני אידיאלים היא חסרת פיתול.
10. המכפלה הטנזורית של שני מודולים חסרי פיתול היא חסרת פיתול.
11. סריג האידיאלים דיסטריבוטיבי, כלומר, לכל שלושה אידיאלים $I,J,K$, מתקיים $I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K)$.
12. לכל שלושה אידיאלים $I,J,K$ מתקיים $I+(J\cap K)=(I+J)\cap (I+K)$.
13. לכל שלושה אידיאלים $I,J,K$ מתקיים $I(J\cap K)=IJ\cap IK$.
14. לכל שלושה אידיאלים $I,J,K$ מתקיים $(I+J)(I\cap J)=IJ$.
15. כל "על-חוג" (חוג המכיל את $R$ ומוכל בשדה השברים שלו), הוא סגור בשלמות (integrally closed).
16. לכל אידיאל ראשוני $P$, המיקום $R_{P}$ הוא תחום הערכה.
17. לכל אידיאל מקסימלי $M$, המיקום $R_{M}$ הוא תחום הערכה.

תכונות נוספות ודוגמאות

בין החוגים הנתריים, תחומי פרופר אינם אלא תחומי דדקינד. כל תחום בזו הוא תחום פרופר; במקרה זה התכונה החסרה היא קיום מחלקים משותפים מקסימליים: תחום בזו אפשר להגדיר גם כתחום פרופר בעל gcd. המחלקה של תחומי פרופר סגורה למיקום במונויד כלשהו, ולמנה ביחס לאידיאל ראשוני.

שתי דוגמאות טיפוסיות לתחומי פרופר שאינם נתריים הן חוג השלמים האלגבריים, והחוג $\left\{f\in \mathbb {Q} [x]\mid f(\mathbb {Z} )\subseteq \mathbb {Z} \right\}$ של פולינומים רציונליים המקבלים ערכים שלמים. בדוגמה האחרונה אפשר להחליף את $\mathbb {Z}$ ו-$\mathbb {Q}$ בכל תחום דדקינד שהמנות שלו סופיות, ושדה השברים המתאים.

מקורות

• Robert Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, 1991; [1], section 40.