חוק גאוס למגנטיות

חוק גאוס למגנטיות הוא חוק פיזיקלי העוסק במגנטיות, והוא אחת מארבע משוואות מקסוול אשר עומדות בבסיס התורה האלקטרומגנטית הקלאסית. על פי חוק זה סך השטף המגנטי דרך מעטפת סגורה שווה אפס. בניסוח מתמטי:

$=0$$\Phi _{B}=$${\scriptstyle _{S}}$$\mathbf {\ B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

כאשר $\mathbf {B}$ מציין את השדה המגנטי ו־$\mathbf {S}$ הוא הווקטור הניצב למשטח המעטפת. ניתן לומר בצורה פשוטה יותר כי אם נבחר מעטפת סגורה כלשהי, אז כל קווי שדה של השדה המגנטי שנכנסים אליה חייבים גם לצאת ממנה, ללא תלות בצורתה, מקומה במרחב או גודלה. זו היא הצורה האינטגרלית לחוק.

החוק מופיע גם בצורה דיפרנציאלית:

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

קרי, דיברגנץ השדה המגנטי מתאפס. החוק בצורתו הדיפרנציאלית מראה כי השדה המגנטי הוא שדה וקטורי סולנואידי. ניתן להגיע מצורה אחת לאחרת על ידי משפט גאוס (משפט מתמטי להבדיל מחוק פיזיקלי).

שתי הצורות לחוק שקולות לקביעה כי לא קיימים מונופולים מגנטיים.

הסקת חוק גאוס למגנטיות מחוק ביו-סבר

צורתו הדיפרנציאלית של חוק גאוס למגנטיות נובעת מיידית מחוק ביו-סבר, המתאר כיצד אלמנט שדה מגנטי נוצר על ידי אלמנט זרם חשמלי. עבור שדות מגנטיים כלליים יותר, הנוצרים על ידי מערכות של זרמים, חוק גאוס למגנטיות נובע מעקרון הסופרפוזיציה, שכן אם נתונים כמה שדות וקטוריים שהדיברגנץ של כל אחד מהם מתאפס בכל המרחב, גם הדיברגנץ של סכום השדות מתאפס בכל המרחב.

חוק ביו-סבר שקול לחוק גאוס למגנטיות. לשם ההוכחה, תוגדר מערכת קואורדינטות כדורית שראשיתה במקטע הזרם האינפיניטסימלי, אשר ציר $z$ שלה (הציר שביחס אליו נמדדת הזווית $\theta$) מכוון לאורך מקטע הזרם. חוק ביו-סבר:

$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}Idl}{4\pi }}{\frac {{\hat {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}}$

מתכונות המכפלה הווקטורית עולה שהשדה המגנטי מכוון בכל מקום בניצב למישור הנפרש על ידי ${\hat {r}}$ (הכיוון הרדיאלי) ו-${\hat {dl}}$ (כיוון ציר $z$). מישור זה חותך בדיוק קו אורך יחיד מהכדור שרדיוסו $r$; במילים אחרות, גם הרכיב הרדיאלי $B_{r}$ וגם הרכיב הקוטבי $B_{\theta }$ של השדה המגנטי מתאפסים, ונשאר רק הרכיב האזימוטלי $B_{\varphi }$ (במקביל לקו הרוחב). מתכונות המכפלה הווקטורית ($|{\vec {A}}\times {\vec {B}}|=|A||B|\sin \theta$) עולה שרכיב השדה המגנטי האזימוטלי, שבמקרה זה הוא גודל השדה המגנטי בכללו, הוא:

$B_{\varphi }={\frac {\mu _{0}Idl}{4\pi }}{\frac {\mathbb {sin} \theta }{r^{2}}}$

לכן הנגזרת של רכיב השדה המגנטי האזימוטלי לפי קואורדינטת האזימוט $\varphi$ מתאפסת.

הגדרת אופרטור הדיברגנץ בקואורדינטות כדוריות:

${\vec {\nabla }}\mathbf {\cdot } {\vec {B}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}B_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (B_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial B_{\varphi }}{\partial \varphi }}$

מהגדרה זו נובע שדיברגנץ השדה המגנטי מתאפס – שני האיברים הראשונים מתאפסים כי לשדה המגנטי אין רכיבים רדיאליים וקוטביים, ואילו האיבר השלישי מתאפס כי השדה המגנטי האזימוטלי קבוע בגודלו, ולכן נגזרתו היא אפס.

תמונת השדה המגנטי המצטיירת מן החישוב הזה (קווי השדה המגנטי מקיפים את הכדור בכיוון האזימוטלי בלבד) עשויה להידמות כסותרת את האינטואיציה הבסיסית לפיה קווי השדה המגנטי יוצאים מקוטב מגנטי אחד ונכנסים אל הקוטב השני (כך שקווי השדה מתקדמים גם בכיוון הקוטבי). בפועל, זרמים במציאות לעולם לא מופיעים במקטעים סופיים, אלא בלולאות סגורות בעלות מומנט מגנטי (כך גם צומח השדה של מגנט תמידי מתוך לולאות הזרם המיקרוסקופיות שבו). מהבדל זה נובע השוני בתמונת קווי השדה המגנטי.

ראו גם

• משוואות מקסוול
• חוק גאוס

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חוק גאוס למגנטיות בוויקישיתוף