בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי .
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב .[1] המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.
באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים , מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.
מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים . כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.
ניסוח המשפט
עריכה
נוסח ראשון : יהי
(
X
,
F
,
P
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
מרחב הסתברות, ותהי
{
X
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.[2]
נגדיר "מאורע זנב"
A
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך
{
X
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
.[3]
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב
A
{\displaystyle A}
, מתקיים
P
(
A
)
=
0
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0}
או
P
(
A
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}
.
נוסח שני : יהי
(
X
,
F
,
P
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
מרחב הסתברות, ותהי
{
F
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
ובלתי-תלויות.[4]
עבור
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle n=0,1,2,...}
, נגדיר
T
n
=
σ
(
⋃
i
=
n
∞
F
i
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}=\sigma \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }F_{i}\right)}
, ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב ,
T
=
⋂
n
=
1
∞
T
n
{\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {T}}_{n}}
.[5] מאורעות
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
מכונים "מאורעות זנב".
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע
A
∈
T
{\displaystyle A\in {\mathcal {T}}}
מתקיים
P
(
A
)
=
0
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0}
או
P
(
A
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}
.
הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת
F
i
=
σ
(
X
i
)
{\displaystyle F_{i}=\sigma \left(X_{i}\right)}
, כלומר
F
i
{\displaystyle F_{i}}
היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה
X
i
{\displaystyle X_{i}}
מדיד.
המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי . עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.
למה : תהי
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
אלגברה של קבוצות על
X
{\displaystyle X}
. תהי
F
=
σ
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma \left({\mathcal {A}}\right)}
.
אזי לכל
A
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
, לכל
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
קיימת
B
∈
A
{\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
, כך שמתקיים
P
(
A
△
B
)
<
ϵ
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon }
.
הוכחה בקצרה : ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
, ולכן היא מכילה את
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
.
נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.
עבור
n
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle n=1,2,3,...}
נגדיר
G
n
=
σ
(
F
1
,
.
.
.
,
F
n
−
1
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\sigma \left(F_{1},...,F_{n-1}\right)}
, ונגדיר
G
=
⋃
n
=
1
∞
G
n
{\displaystyle {\mathcal {G}}=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{n}}
. נשים לב כי
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות , ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים
T
1
=
σ
(
G
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}=\sigma \left({\mathcal {G}}\right)}
.
בהינתן מאורע
A
∈
T
{\displaystyle A\in {\mathcal {T}}}
, מהלמה נובע כי לכל
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
יש מאורע
B
∈
G
{\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}
שעבורו מתקיים
P
(
A
△
B
)
<
ϵ
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon }
, כלומר
P
(
A
)
−
ϵ
<
P
(
B
)
<
P
(
A
)
+
ϵ
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon }
.
יהי
N
{\displaystyle N}
שעבורו
B
∈
G
N
{\displaystyle B\in {\mathcal {G}}_{N}}
. נשים לב כי
A
∈
T
⊂
T
N
+
1
{\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {T}}_{N+1}}
, ולכן
A
,
B
{\displaystyle A,B}
בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי
P
(
A
)
−
ϵ
<
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
<
P
(
A
)
⋅
(
P
(
A
)
+
ϵ
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(A\cap B\right)=\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \left(\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon \right)}
.
אבל
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
שרירותי, ולכן נובע כי
P
(
A
)
=
P
(
A
)
2
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=\mathbb {P} \left(A\right)^{2}}
, כלומר
P
(
A
)
=
0
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0}
או
P
(
A
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1}
.
נתבונן במרחב
X
=
{
0
,
1
}
N
{\displaystyle X=\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }}
, עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה
C
(
a
,
n
)
=
{
x
∈
X
∣
x
n
=
a
}
{\displaystyle C\left(a,n\right)=\left\{\mathbf {x} \in X\mid x_{n}=a\right\}}
(כאשר
x
n
{\displaystyle x_{n}}
הוא הקואורדינטה ה-
n
{\displaystyle n}
של
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
), עבור
a
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle a\in \left\{0,1\right\}}
כלשהו.
נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות
P
(
C
(
a
,
n
)
)
=
1
2
{\displaystyle \mathbb {P} \left(C\left(a,n\right)\right)={\frac {1}{2}}}
לכל
a
{\displaystyle a}
ולכל
n
{\displaystyle n}
. ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.
עבור
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle i=1,2,3,...}
נגדיר
F
i
=
σ
(
C
(
0
,
i
)
)
{\displaystyle F_{i}=\sigma \left(C\left(0,i\right)\right)}
, ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים
X
i
(
x
)
=
x
i
i
{\displaystyle X_{i}\left(\mathbf {x} \right)={\frac {x_{i}}{i}}}
.
אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:
{
x
∈
X
∣
∑
i
=
1
∞
X
i
(
x
)
<
∞
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \sum _{i=1}^{\infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<\infty \right\}}
{
x
∈
X
∣
lim
i
→
∞
X
i
(
x
)
exists
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \lim _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right){\mbox{exists}}\right\}}
{
x
∈
X
∣
lim sup
i
→
∞
X
i
(
x
)
<
c
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \limsup _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<c\right\}}
לאיזשהו
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי
עריכה
באופן כללי יותר, אם
{
A
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע
{
infinitely many of the
A
i
occur
}
=
lim sup
i
(
A
i
)
=
⋂
n
=
1
∞
⋃
i
=
n
∞
A
i
{\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}}
הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.
הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור
∑
i
=
1
∞
P
(
A
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)}
מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות
P
(
lim sup
i
→
∞
A
i
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i\to \infty }A_{i}\right)=1}
.
לקריאה נוספת
עריכה
הערות שוליים
עריכה
^ המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת".
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
i
1
,
.
.
.
,
i
k
{\displaystyle i_{1},...,i_{k}}
, לכל קבוצת מאורעות
A
i
1
,
.
.
.
,
A
i
k
{\displaystyle A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}}
, מתקיים כי
P
(
X
i
1
∈
A
i
1
,
.
.
.
,
X
i
k
∈
A
i
k
)
=
P
(
X
i
1
∈
A
i
1
)
⋅
.
.
.
⋅
P
(
X
i
k
∈
A
i
k
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)}
.
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
i
1
,
.
.
.
,
i
k
{\displaystyle i_{1},...,i_{k}}
, עבור
X
i
1
,
.
.
.
,
X
i
k
{\displaystyle X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}}
, מתקיים כי
P
(
A
∣
X
i
1
,
.
.
.
,
X
i
k
)
=
P
(
A
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A\mid X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A\right)}
.
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
i
1
,
.
.
.
,
i
k
{\displaystyle i_{1},...,i_{k}}
, לכל קבוצת מאורעות
A
i
1
∈
F
i
1
,
.
.
.
,
A
i
k
∈
F
i
k
{\displaystyle A_{i_{1}}\in F_{i_{1}},...,A_{i_{k}}\in F_{i_{k}}}
, מתקיים כי
P
(
A
i
1
∩
.
.
.
∩
A
i
k
)
=
P
(
A
i
1
)
⋅
.
.
.
⋅
P
(
A
i
k
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap ...\cap A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(A_{i_{k}}\right)}
.
^ חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.