חוק המספרים הקטנים

חוק המספרים הקטנים הוא שם כולל לכמה תופעות המייחדות מספרים טבעיים קטנים, שטבע המתמטיקאי ריצ'רד גאי ב-1988. לפעמים נקראים חוקים אלו "החוק החזק של המספרים הקטנים", בדומה לחוק החזק של המספרים הגדולים.

החוק הראשון קובע ש"אין מספיק מספרים קטנים כדי לעמוד בכל הציפיות שלנו", רוצה לומר - יש תופעות המוכרות לנו ממערכות גדולות, שהיו צריכות לכאורה להתרחש כבר במערכות קטנות, אבל אינן מתרחשות שם מסיבות שנדמות אקראיות.

החוק השני קובע ש"לפעמים נראה שמספרים שווים זה לזה, כשהם לא". בין הדוגמאות לחוק זה מונה גאי את השאלה הבאה: לכמה פרוסות אפשר לחלק עוגה עגולה, אם מותר לחבר בחיתוך מספר קבוע של נקודות על ההיקף? אם נתונה נקודה אחת אז אין חותכים כלל, והעוגה מהווה פרוסה אחת. בחיבור שתי נקודות (בחיתוך אחד) העוגה מתחלקת כמובן לשתי פרוסות. בחיבור שלוש נקודות (בשלושה קווים) העוגה מתחלקת לארבע פרוסות, בחיבור ארבע נקודות (בשישה חיתוכים) העוגה מתחלקת לשמונה פרוסות. בחיבור חמש נקודות העוגה מתחלקת ל-16. עד כאן קיבלנו 1,2,4,8,16 פרוסות, ואולי טבעי לנחש שמדובר בחזקות שתיים, ושבחיבור שש נקודות אפשר יהיה לקבל 32 פרוסות. מתברר שזה לא נכון: מספר הפרוסות המתקבלות מחיבור n נקודות שווה ל- $\ {\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}+{\frac {n(n-1)}{2}}+1$, ולא ל- $\ 2^{n-1}$.

דוגמה אחרת שמביא גאי עוסקת במספרי פיבונאצ'י: הערכים $\ e^{(n-1)/2}$, לאחר עיגול כלפי מעלה, הם עשרת המספרים הראשונים בסדרת פיבונאצ'י: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, אולם המספר הבא בסדרה הוא 91, בעוד שהמספר הבא בסדרת פיבונאצ'י הוא 89.

קישורים חיצוניים

• חוק המספרים הקטנים, באתר MathWorld (באנגלית)