חוק טוריצ'לי

חוק טוריצ'לי, הידוע גם כעקרון טוריצ'לי, הוא עיקרון במכניקת זורמים המתייחס למהירות הנוזל שזורם מבעד לפתח, ביחס לגובה הנוזל מעל הפתח.

חוק טוריצ'לי מתאר את מהירות היציאה של זרם מים, בהתבסס על הפרש הגובה בין קו המים העליון במכל, לבין המיקום של תחילת הזרם, בהנחה שאין התנגדות אוויר, צמיגות או התנגדות אחרת לזרימת המים. הדיאגרמה מראה מספר זרמים כאלו, מסודרים בצורה אנכית ויוצאים מן המאגר בצורה אופקית. במקרה זה, לזרמים היוצאים ישנה מעטפת (מושג שהוצג בידי טוריצ'ילי), שהיא בעצם קו שיורד בזווית של 45 מעלות מן הקו העליון של המים, מעל לזרמים. ככל שמקור הזרם עמוק יותר הזרם פוגש רחוק יותר את קו המעטפת, כאשר גובה המפגש כפול מעומק מקור הזרם. הגובה בו שני זרמים נפגשים הוא סכום העומקים של מקור הנביעה שלהם. כל זרם (אפילו אם אינו זורם בצורה אנכית) זורם בנתיב פרבולי, כאשר האנך לציר הסימטריה של הנתיב הוא קו המים העליון.

חוק טוריצ'לי קובע שמהירות הזרימה v, של נוזל דרך חור עם קצוות מחודדים בתחתית של מכל שמלא עד גובה h, זהה למהירות בה גוף (במקרה זה, טיפת מים), צובר בעודו נופל באופן חופשי מגובה h, כלומר $v={\sqrt {2gh}}$ כאשר g מייצג את תאוצת הכובד (N/KG 9.81 בקרבת פני כדור הארץ). ביטוי זה מתקבל כפתרון עבור v בהשוואת האנרגיה הקינטית שהצטברה ${\frac {1}{2}}mv^{2}$  עם האנרגיה הפוטנציאלית שאבדה, mgh. החוק התגלה (אם כי לא בצורתו זו), על ידי המדען האיטלקי אוונג'ליסטה טוריצ'לי בשנת 1643. מאוחר יותר הראו שזהו מקרה ספציפי של משוואת ברנולי.

נגזרת חוק טוריצ'לי ממשוואת ברנולי

משוואת ברנולי קובעת כי:

${v^{2} \over 2}+gz+{p \over \rho }={\text{constant}}$

כאשר:

ρ - צפיפות הנוזל.

P - הלחץ.

z - גובה הנוזל מעל משטח יחוס מסוים.

g - תאוצת הכובד (9.81 m/s^2).

v - מהירות הזורם.

במקרה של ברנולי מגדירים z=0 בפתח יציאת הנוזל. על פני שטח הנוזל הלחץ (P) שווה ללחץ האטמוספירי וכמו כן גם בפתח היציאה קיים לחץ אטמוספירי. כיוון שמניחים ששטח פני המכל גדול בהרבה משטח הפתח ניתן להניח כי מהירות ירידת פני השטח קטנה מאוד ממהירות יציאת הנוזל ולכן שווה בקירוב ל-0. מהשוואה של המצבים נקבל:

                  $gz+{p_{atm} \over \rho }={v^{2} \over 2}+{p_{atm} \over \rho }$

                            $\Rightarrow v^{2}=2gz\,$

                          $\Rightarrow v={\sqrt {2gz}}$  

הגדרנו  מקודם z=h כאשר h הוא עומק המים מעל לפתח וקיבלנו : 

                              $v={\sqrt {2gh}}$

הוכחה ניסיונית

ניתן להדגים את חוק טוריצ'לי בעזרת ניסוי הפחית המחוררת (בדומה לתמונה למעלה). ניסוי זה מעוצב כדי להראות שבנוזל עם פני שטח פתוחים, הלחץ גובר עם העומק. הניסוי מורכב מצינור עם מספר חורים נפרדים ומשטח פתוח. תחילה שלושת החורים חסומים וממלאים את הפחית במים. כאשר המכל מתמלא, מורידים את החסימה מן החורים. ככל שהפתח ממוקם נמוך יותר בפחית כך הזרם עוצמתי יותר. כלומר, מהירות יציאת הנוזל גבוהה יותר ככל שהמיקום של החור נמוך יותר בפחית. בהתעלם מצמיגות ואובדני אנרגיה נוספים, אם החורים פונים בצורה אנכית מעלה, אז כל זרם יגיע לגובה של פני שטח הנוזל במכל.

שימוש בברנולי עבור חישוב הזמן לריקון מיכל

נתמקד במיכל שמכיל מים בגובה h ומתרוקן דרך צינור אשר ממוקם בתחתית המיכל באופן חופשי. יהא h גובה המים בכל זמן נתון, ותהא מהירות הנביעה: $v={\sqrt {2gh}}\ ={dx \over dt}$

כעת, $A\,dh=a\,dx$ כאשר A ו-a הם שטחי הפתחים במיכל ובצינור בהתאמה, dh זה גובה הנוזל במיכל שמתאים ל-dx בצינור אשר שניהם קטנים בזמן dt. נפתח את המשוואה ונקבל:

${A\,dh \over \ a\,dt}={\sqrt {2gh}}$

$\Rightarrow {A\,dh \over \ a{\sqrt {2gh}}}=dt$

$\Rightarrow \int \ {A\,dh \over \ a{\sqrt {2gh}}}=\int \ dt$

$\Rightarrow {2A{\sqrt {h}}\ \over \ a{\sqrt {2g}}}=t$

$\Rightarrow t={2A{\sqrt {h}}\ \over \ a{\sqrt {2g}}}$

$\Rightarrow t={2A \over \ a{\sqrt {2g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}})$ 

כאשר t הוא הזמן הדרוש לריקון המיכל מגובה  h1 לגובה  h2.

לקריאה נוספת

• T. E. Faber (1995). Fluid Dynamics for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42969-2.
• Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
• Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חוק טוריצ'לי בוויקישיתוף

• Water Flow from a Spouting Cylinder
• חוק טוריצ'לי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)