חיתוך (גאומטריה)

בגאומטריה, חיתוך הוא אוסף הנקודות המשותפות לשתי צורות גאומטריות (או ליותר משתיים). זהו מימוש בגאומטריה של המושג המתמטי הרחב יותר חיתוך.

החיתוך יכול להיות הקבוצה הריקה, למשל החיתוך בין שני ישרים מקבילים, או מממד כלשהו. דוגמאות:

• שני ישרים שאינם מקבילים נחתכים בנקודה אחת.
• קוטר חותך את המעגל בשתי נקודות.
• שני מישורים שאינם מקבילים נחתכים בישר אחד.
• חתכי חרוט: מישור החותך חרוט עשוי ליצור אחת מארבע צורות (מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה), בהתאם לזווית שבה המישור חותך את החרוט. מקרים מנוונים מתקבלים כאשר המישור החותך עובר דרך קודקוד החרוט.

חיתוך מתקיים גם בין יותר משתי צורות גאומטריות. במשולש שלושת התיכונים נחתכים בנקודה אחת, וכך גם שלושת הגבהים ושלושת חוצי הזוויות.

חיתוך במישור

שני ישרים נחתכים בנקודה אחת

שני ישרים

כאשר נתונים שני ישרים, שמשוואותיהם הן: $a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}$ מתקבלות, לפי נוסחת קרמר, הקואורדינטות של נקודת החיתוך $(x_{s},y_{s})$:

$x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}$ .

כאשר $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$ הישרים מקבילים.

שני קטעים

חיתוך בין שני קטעים. מימין: הקטעים אינם נחתכים. משמאל: הקטעים נחתכים.

כאשר נתונים שני קטעים, $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ ו-$(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$, הם לא בהכרח נחתכים, משום שייתכן שנקודת החיתוך בין שני הישרים שהקטעים מוכלים בהם נמצאת מחוץ לקטעים. כדי לבדוק זאת ניתן להשתמש בהצגה הפרמטרית של הקטעים:

$(x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),$

$(x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).$

שני הקטעים נחתכים בנקודה משותפת $(x_{0},y_{0})$ כאשר הפרמטרים המתאימים $s_{0},t_{0}$ מקיימים את התנאי $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$. הפרמטרים $s_{0},t_{0}$ הם הפתרון של מערכת המשוואות הליניאריות

$s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1}$

$s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}$

הצבת הערכים $s_{0}$ או $t_{0}$ בהצגה הפרמטרית נותנת את נקודת החיתוך $(x_{0},y_{0})$.

דוגמה: לקטעים $(1,1),(3,2)$ ו-$(1,4),(2,-1)$ נקבל את מערכת המשוואות הליניאריות

$2s-t=0$

$s+5t=3$

שפתרונה $s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}$, כלומר הקטעים נחתכים בנקודה $({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})$.

ישר ומעגל

חיתוך בין ישר ומעגל

למציאת נקודות החיתוך של הישר $ax+by=c$ והמעגל $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ יש לבודד את $\ x$ או את $\ y$ ממשוואת הישר ולהציב במשוואת המעגל, ולקבל את הפתרונות $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ מהמשוואות הריבועיות

$x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}$

$y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}$

כאשר $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}\geq 0$. כאשר מתקיים $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0$, מתקבלות שתי נקודות חיתוך, והקטע המחבר ביניהן קרוי מיתר במעגל. כאשר $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0$ יש רק נקודת חיתוך אחת, והישר משיק למעגל. כאשר $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}<0$, הישר והמעגל אינם נחתכים.

חיתוך בין שני מעגלים. הקן האדום הוא הציר הרדיקלי שלהם

שני מעגלים

הצורה המתקבלת מחיתוך של שני מעגלים קרויה עדשה. כאשר שני המעגלים הם בעלי אותו רדיוס, והמרכז של כל אחד מהם נמצא על היקפו של האחר, העדשה המתקבלת קרויה וסיקה פיסקיס.

חיתוך במרחב תלת-ממדי

ישר ומישור

חיתוך בין ישר ומישור

ישר שאינו מקביל למישור ואינו מוכל במישור חותך את המישור בנקודה אחת. הישר במרחב מוצג פרמטרית $(x(t),y(t),z(t))$ והמישור מוצג במשוואה $ax+by+cz=d$. הצבת ההצגה הפרמטרית במשוואה נותנת

$ax(t)+by(t)+cz(t)=d$

לפרמטר $t_{0}$ של נקודת החיתוך $(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))$.

כאשר למשוואה אין פתרון, הישר מקביל למישור או מוכל בו.

ראו גם

• דיאגרמת ון