טרנספורמציית גליליי

טרנספורמציית גליליי היא טרנספורמציה ליניארית בין מערכות ייחוס המראה כיצד משתנים הזמן והמרחב כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס אחרת הנעה יחסית אליה במהירות קבועה בקו ישר. טרנספורמציית גליליי נכונה בקירוב טוב מאוד כל עוד המהירויות קטנות באופן משמעותי ממהירות האור. כאשר אין זה המצב, תהיה השפעה לא זניחה של תורת היחסות ונאלץ להשתמש בטרנספורמציית לורנץ כדי לקבל שוב תשובה נכונה בקירוב טוב.

תצורה סטנדרטית של מערכות קואורדינטות עבור טרנספורמציות גליליות

גלילאו גליליי ניסח את הטרנספורמציה כאשר תיאר תנועה במהירות קבועה בעת ניסויו בכדור הנופל במורד מסילות. ניסויים אלו איפשרו לגלילאו להשיג ערך מספרי ל-g - תאוצת הכובד ליד פני כדור הארץ (וייתכן שאף היוו מקור למיתוס השלכת הכדורים ממגדל פיזה).

דוגמה

נניח שנוסע עומד על הרציף ומביט ברכבת שעוברת ליד הרציף במהירות קבועה של 10 קמ"ש, ובתוך אחד הקרונות עומד לו ילד ומשחק בכדור.

הילד זורק את הכדור קדימה בכל הכוח, כך שביחס לילד הכדור טס ישר קדימה במהירות של 1 קמ"ש. נאמר כי במערכת הייחוס של הילד, או במילים אחרות - ביחס לרכבת הנוסעת, לכדור יש מהירות של 1 קמ"ש.

כעת נעבור בעזרת טרנספורמציית גליליי למערכת הייחוס של הנוסע שעומד על הרציף. הנוסע מביט בכדור. הכדור מתקדם ביחס לרכבת במהירות של 1 קמ"ש והרכבת מתקדמת ביחס לרציף במהירות של 10 קמ"ש. כך שסה"כ הנוסע יראה את הכדור מתקדם קדימה במהירות של 1+10=11 קמ"ש. נאמר שבמערכת הייחוס של הנוסע, או במילים אחרות - ביחס לרציף, לכדור יש מהירות של 11 קמ"ש.

לו הילד היה זורק את הכדור אחורה בכל הכוח, כך שביחס לילד היה הכדור טס במהירות של מינוס (קרי, לכיוון אחורה) 1 קמ"ש. ביחס לנוסע שעומד על הרציף היינו מקבלים שהכדור מתקדם ביחס לרכבת במהירות של מינוס 1 קמ"ש והרכבת מתקדמת ביחס לרציף במהירות של 10 קמ"ש כך שסה"כ הנוסע יראה את הכדור מתקדם קדימה במהירות של 10-1=9 קמ"ש.

תיאור מתמטי של הטרנספורמציה

הטרנספורמציה מתארת שתי מערכות שאחת מהן נעה במהירות v ביחס לשנייה, כאשר השינוי במהירות מוגבל לציר x. החישוב מתבצע בצורה הבאה:

• $\ t'=t$
• $\ x'=x-vt$
• $\ y'=y\ ,\ z'=z$

המשמעויות הפיזיקליות של הטרנספורמציה

הנחות פיזיקליות

המכניקה הקלאסית, הניוטונית, נוסחה בהתאם לטרנספורמציית גליליי, ההנחות הפיזיקליות שמאחורי הטרנספורמציה הן:

• קצב מעבר הזמן זהה בכל המערכות.
• אין מגבלת מהירות ואין מהירויות מוחלטות.
• ההשפעה של מערכת מסוימת על אחרת (כל המערכות האחרות) היא מיידית.
• שינוי מיקום של גוף במערכת מסוימת (מהירותו) ביחס לצופה במערכת אחרת תלוי רק במהירות היחסית ביניהם.

הטענה של תורת היחסות וטרנספורמציות לורנץ הייתה כי הנחות אלו שגויות.

השלכות לחוקי הפיזיקה

בהתאם לטרנספורמציית גליליי המומחשת בניסוי הספינה שלו, ניתן לראות כי כל הגדלים הנפוצים במכניקה הקלאסית נשמרים בקשר ליניארי בין מערכות ייחוס אינרציאליות. הגדלים הנפוצים ביותר המתנהגים אותו דבר בכל מערכת הם ההעתק ונגזרותיו (מהירות, תאוצה), הכוחות, התנע הקווי והזוויתי, והאנרגיה הקינטית.

בניתוח מתמטי:

במערכת אינרצאלית $S'$ הנעה במהירות קבועה ${\vec {v}}_{S'}$ ביחס למערכת המעבדה $S$ נקבל את הערך הבא המסמל את המיקום של נקודה מסוימת ${\vec {r}}$ ביחס למערכת $S'$:

${\vec {r}}'={\vec {r}}-t{\vec {v}}_{S'}$

כאשר נגזור לפי הזמן נקבל את ערכי המהירות והתאוצה:

${\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {v}}_{S'},\ \ {\vec {a}}'={\vec {a}}$

מכיוון שהתאוצות שוות בין המערכות, גם הכוח השקול שווה בין המערכות, דבר המבטיח ששלושת חוקי ניוטון מתקיימים. כמו כן בגלל שהתווסף למהירות רק וקטור קבוע, חוקי השימור של התנע והאנרגיה, התלויים במהירות, מתקיימים בכל המערכות.

כל זה לא נכון במערכת לא אינרציאלית המאיצה בקו ישר, שעבורה: $\Sigma {\vec {F}}-m{\vec {a}}'=m{\vec {a}}$, ולכן נצטרך להוסיף כוח מדומה $F_{d}=m{\vec {a}}_{S'}$ כדי שחוקי ניוטון יהיו נכונים.

וכן למערכת לא אינרציאלית מסתובבת, שבה לכל וקטור $\ {\vec {B}}$ מתקיים השוויון:

$\left({\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)_{S}=\left({\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)_{S'}+{\vec {\omega }}\times {\vec {B}}$

ובפרט התאוצה המתקבלת מהנגזרת השנייה של המיקום נהפכת לביטוי מורכב, וצריך להוסיף שני כוחות מדומים בשביל שחוקי ניוטון יעבדו.

ראו גם

• תיאור לגראנז'י ואוילרי של שדה זרימה
• חבורת פואנקרה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טרנספורמציית גליליי בוויקישיתוף

• טרנספורמציית גליליי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)