השיטה בה מוכיחים כי
e
{\displaystyle {\text{e}}}
הרעיון הכללי הוא להניח בשלילה כי המספר מקיים את התכונה, ובאמצעות בניית פונקציות שתפורות לעניין היטב, מבצעים מניפולציות אנליטיות ומראים כי זה גורר שוויון מופרך בין מספר שלם שונה מאפס לבין מספר קטן בערכו המוחלט מ-1. גם ההוכחה הפשוטה יותר כי
e
{\displaystyle {\text{e}}}
אי-רציונלי נעשית בדרך דומה. בשל השימושיות שלה בתחום זכתה השיטה לכינוי ההומוריסטי "המשפט היסודי של המספרים הטרנסצנדנטיים" (על משקל המשפטים היסודיים של האריתמטיקה , האלגברה , החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ודומיהם).[ 1]
הוכחה זו מבוססת על הוכחה שניתנה על ידי דויד הילברט כפישוט להוכחתו המקורית של הרמיט, תוך שימוש בכלים בסיסיים בחשבון אינפיניטסימלי בלבד.
נניח בשלילה כי
e
{\displaystyle e}
מספר אלגברי . לכן קיימים מספרים שלמים
c
0
,
c
1
,
…
,
c
n
{\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}}
c
0
,
c
n
{\displaystyle c_{0},c_{n}}
e
{\displaystyle e}
c
0
+
c
1
e
+
c
2
e
2
+
⋯
+
c
n
e
n
=
0
{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0}
נגדיר פונקציה:
f
(
x
)
=
x
k
[
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
]
k
+
1
e
−
x
{\displaystyle f(x)=x^{k}{\bigl [}(x-1)(x-2)\cdots (x-n){\bigr ]}^{k+1}e^{-x}}
k
{\displaystyle k}
מספר טבעי שיוגדר בהמשך. נכפול את המשוואה ב-
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx}
c
0
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
+
c
1
e
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
+
⋯
+
c
n
e
n
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle c_{0}\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx+c_{1}e\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx+\cdots +c_{n}e^{n}\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx=0}
נשתמש באדיטיביות האינטגרל ונעביר אגפים כדי לקבל:
c
0
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
−
(
c
1
e
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
+
c
2
e
2
∫
0
2
f
(
x
)
d
x
+
⋯
+
c
n
e
n
∫
0
n
f
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle c_{0}\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx=-\left(c_{1}e\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+c_{2}e^{2}\int \limits _{0}^{2}f(x)dx+\cdots +c_{n}e^{n}\int \limits _{0}^{n}f(x)dx\right)}
נסמן את אגף שמאל
P
1
{\displaystyle P_{1}}
P
2
{\displaystyle P_{2}}
P
1
k
!
=
P
2
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}={\frac {P_{2}}{k!}}}
k
{\displaystyle k}
גדול מספיק
P
1
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}}
P
2
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}}
P
1
{\displaystyle P_{1}}
c
a
e
a
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx}
0
<
a
≤
n
{\displaystyle 0<a\leq n}
שינוי משתנה מ-
x
{\displaystyle x}
x
+
a
{\displaystyle x+a}
e
a
{\displaystyle e^{a}}
c
a
e
a
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
=
c
a
∫
0
∞
(
x
+
a
)
k
[
(
x
+
a
−
1
)
⋯
x
⋯
(
x
+
a
−
n
)
]
k
+
1
e
−
x
d
x
{\displaystyle c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=c_{a}\int \limits _{0}^{\infty }(x+a)^{k}{\bigl [}(x+a-1)\cdots x\cdots (x+a-n){\bigr ]}^{k+1}e^{-x}dx}
נפתח סוגריים ונקבל סכום של אינטגרלים שהחזקה המינימלית של
x
{\displaystyle x}
x
k
+
1
{\displaystyle x^{k+1}}
c
a
e
a
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
k
+
1
m
d
i
∫
0
∞
x
i
e
−
x
d
x
{\displaystyle c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\sum _{i\,=\,k+1}^{m}d_{i}\int \limits _{0}^{\infty }x^{i}e^{-x}dx}
m
,
d
k
+
1
,
…
,
d
m
{\displaystyle m,d_{k+1},\ldots ,d_{m}}
מאינטגרציה בחלקים נובע
∫
0
∞
x
i
e
−
x
d
x
=
i
!
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{i}e^{-x}dx=i!}
תכונה ידועה של פונקציית גמא ). ולכן:
1
k
!
c
a
e
a
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
k
+
1
m
d
i
i
!
k
!
=
∑
i
=
k
+
1
m
d
i
(
k
+
1
)
⋯
i
≡
0
(
mod
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\sum _{i\,=\,k+1}^{m}d_{i}{\frac {i!}{k!}}=\sum _{i\,=\,k+1}^{m}d_{i}(k+1)\cdots i\equiv 0{\pmod {k+1}}}
במקרה
a
=
0
{\displaystyle a=0}
x
k
{\displaystyle x^{k}}
1
k
!
c
0
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
k
!
(
c
0
n
!
(
−
1
)
k
+
1
∫
0
∞
x
k
e
−
x
d
x
+
∑
i
=
k
+
1
m
d
i
∫
0
∞
x
i
e
−
x
d
x
)
≡
c
0
n
!
(
−
1
)
k
+
1
(
mod
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx={\frac {1}{k!}}\left(c_{0}n!(-1)^{k+1}\int \limits _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}dx+\sum _{i\,=\,k+1}^{m}d_{i}\int \limits _{0}^{\infty }x^{i}e^{-x}dx\right)\equiv c_{0}n!(-1)^{k+1}{\pmod {k+1}}}
כל
k
+
1
{\displaystyle k+1}
ראשוני הגדול מ-
n
{\displaystyle n}
c
0
{\displaystyle c_{0}}
זר ל-
c
0
n
!
(
−
1
)
k
+
1
{\displaystyle c_{0}n!(-1)^{k+1}}
P
1
k
!
=
1
k
!
∑
i
=
0
n
c
i
e
i
∫
i
∞
f
(
x
)
d
x
≡
c
0
n
!
(
−
1
)
k
+
1
≢
0
(
mod
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}={\frac {1}{k!}}\sum _{i\,=\,0}^{n}c_{i}e^{i}\int \limits _{i}^{\infty }f(x)dx\equiv c_{0}n!(-1)^{k+1}\not \equiv 0{\pmod {k+1}}}
והוכחנו כי
P
1
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}}
נוכיח כי ל-
k
{\displaystyle k}
P
2
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}}
g
(
x
)
=
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
;
h
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
)
e
−
x
{\displaystyle g(x)=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n);\quad h(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}}
נשים לב כי:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
k
⋅
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)^{k}\cdot h(x)}
g
,
h
{\displaystyle g,h}
פונקציות רציפות ולכן לפי משפט ויירשטראס הראשון קיימים חסמים
G
,
H
{\displaystyle G,H}
x
∈
[
0
,
n
]
{\displaystyle x\in [0,n]}
|
g
(
x
)
|
<
G
;
|
h
(
x
)
|
<
H
{\displaystyle |g(x)|<G;\quad |h(x)|<H}
G
=
n
n
+
1
;
H
=
n
n
{\displaystyle G=n^{n+1};\quad H=n^{n}}
לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי ותכונת המונוטוניות של אינטגרלים (לכל
0
<
i
≤
n
{\displaystyle 0<i\leq n}
|
∫
0
i
f
(
x
)
d
x
|
≤
∫
0
i
|
f
(
x
)
|
d
x
<
∫
0
i
G
k
H
d
x
=
G
k
H
⋅
i
{\displaystyle \left|\int \limits _{0}^{i}f(x)dx\right|\leq \int \limits _{0}^{i}|f(x)|dx<\int \limits _{0}^{i}G^{k}Hdx=G^{k}H\cdot i}
לכן לפי אי-שוויון המשולש :
|
P
2
|
=
|
∑
i
=
1
n
c
i
e
i
∫
0
i
f
(
x
)
d
x
|
<
∑
i
=
1
n
|
c
i
e
i
⋅
i
|
⋅
G
k
H
{\displaystyle |P_{2}|=\left|\sum _{i\,=\,1}^{n}c_{i}e^{i}\int \limits _{0}^{i}f(x)dx\right|<\sum _{i\,=\,1}^{n}|c_{i}e^{i}\cdot i|\cdot G^{k}H}
נסמן:
M
=
∑
i
=
1
n
|
c
i
e
i
⋅
i
|
⋅
H
{\displaystyle M=\sum _{i\,=\,1}^{n}|c_{i}e^{i}\cdot i|\cdot H}
|
P
2
|
<
M
G
k
{\displaystyle |P_{2}|<MG^{k}}
נבחין בגבול הפשוט (פונקציית העצרת גדלה מהר יותר מפונקציה מעריכית ):
lim
k
→
∞
M
G
k
k
!
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {MG^{k}}{k!}}=0}
ונסיק כי ל-
k
{\displaystyle k}
|
P
2
k
!
|
<
M
G
k
k
!
<
1
{\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<{\frac {MG^{k}}{k!}}<1}
נבחר
k
{\displaystyle k}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
קיימים אינסוף ראשוניים ). לפי השלב הראשון
P
1
k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}}
|
P
1
k
!
|
≥
1
{\displaystyle \left|{\frac {P_{1}}{k!}}\right|\geq 1}
|
P
2
k
!
|
<
1
{\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1}
P
1
=
P
2
{\displaystyle P_{1}=P_{2}}
לכן
e
{\displaystyle e}
שורש של פולינום במקדמים שלמים ובהכרח מספר טרנסצנדנטי.
הוכחה זו מבוססת על הוכחה שניתנה על ידי אדולף הורוויץ , גם היא כפישוט להוכחתו המקורית של הרמיט.
נניח בשלילה כי
e
{\displaystyle {\text{e}}}
מספר אלגברי , כלומר קיים פולינום
P
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
∈
Z
[
x
]
{\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} [x]}
עבורו
P
(
e
)
=
0
{\displaystyle P({\text{e}})=0}
יהי
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
d
{\displaystyle d}
F
(
x
)
=
∑
k
=
0
d
f
(
k
)
(
x
)
{\displaystyle F(x)=\sum _{k\,=\,0}^{d}f^{(k)}\!(x)}
F
′
(
x
)
=
∑
k
=
0
d
f
(
k
+
1
)
(
x
)
=
∑
k
=
1
d
f
(
k
)
(
x
)
=
F
(
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle F'\!(x)=\sum _{k\,=\,0}^{d}f^{(k+1)}\!(x)=\sum _{k\,=\,1}^{d}f^{(k)}\!(x)=F(x)-f(x)}
נגדיר
G
(
x
)
=
e
−
x
F
(
x
)
{\displaystyle G(x)={\text{e}}^{-x}F(x)}
G
′
(
x
)
=
e
−
x
F
′
(
x
)
−
e
−
x
F
(
x
)
=
e
−
x
[
F
′
(
x
)
−
F
(
x
)
]
=
−
e
−
x
f
(
x
)
{\displaystyle G'\!(x)={\text{e}}^{-x}F'\!(x)-{\text{e}}^{-x}F(x)={\text{e}}^{-x}{\bigl [}F'\!(x)-F(x){\bigr ]}=-{\text{e}}^{-x}f(x)}
כיון שהפונקציה
G
(
x
)
{\displaystyle G(x)}
משפט הערך הממוצע של לגראנז' מעל הקטע
[
0
,
m
]
{\displaystyle [0,m]}
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
x
m
∈
(
0
,
m
)
{\displaystyle x_{m}\in (0,m)}
G
′
(
x
m
)
=
G
(
m
)
−
G
(
0
)
m
−
0
=
e
−
m
F
(
m
)
−
e
−
0
F
(
0
)
m
=
−
e
−
x
m
f
(
x
m
)
{\displaystyle G'\!(x_{m})={\frac {G(m)-G(0)}{m-0}}={\frac {{\text{e}}^{-m}F(m)-{\text{e}}^{-0}F(0)}{m}}=-{\text{e}}^{-x_{m}}f(x_{m})}
נסמן
F
(
m
)
−
e
m
F
(
0
)
=
−
m
e
m
−
x
m
f
(
x
m
)
=
A
m
a
m
F
(
m
)
−
a
m
e
m
F
(
0
)
=
a
m
A
m
{\displaystyle {\begin{aligned}F(m)-{\text{e}}^{m}F(0)=-m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}f(x_{m})=A_{m}\\[6pt]a_{m}F(m)-a_{m}{\text{e}}^{m}F(0)=a_{m}A_{m}\end{aligned}}}
נסכום ונקבל כי
∑
m
=
1
n
a
m
F
(
m
)
−
∑
m
=
1
n
a
m
e
m
F
(
0
)
=
∑
m
=
1
n
a
m
A
m
∑
m
=
1
n
a
m
F
(
m
)
−
F
(
0
)
∑
m
=
1
n
a
m
e
m
=
∑
m
=
1
n
a
m
A
m
∑
m
=
1
n
a
m
F
(
m
)
−
F
(
0
)
(
−
a
0
)
=
∑
m
=
1
n
a
m
A
m
∑
m
=
0
n
a
m
F
(
m
)
=
∑
m
=
1
n
a
m
A
m
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}{\text{e}}^{m}F(0)=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-F(0)\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}{\text{e}}^{m}=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-F(0)(-a_{0})=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,0}^{n}a_{m}F(m)=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\end{aligned}}}
למה:
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
d
≥
1
{\displaystyle d\geq 1}
f
(
j
)
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle f^{(j)}\!(x_{0})=0}
0
≤
j
≤
d
−
1
{\displaystyle 0\leq j\leq d-1}
הוכחה: באינדוקציה שלמה .
נרשום
f
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
d
Q
(
x
)
{\displaystyle f(x)=(x-x_{0})^{d}Q(x)}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
Q
(
x
0
)
≠
0
{\displaystyle Q(x_{0})\neq 0}
עבור
d
=
1
{\displaystyle d=1}
f
(
0
)
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle f^{(0)}\!(x_{0})=f(x_{0})=0}
נניח כי לכל
1
≤
d
≤
k
{\displaystyle 1\leq d\leq k}
0
≤
j
≤
d
−
1
{\displaystyle 0\leq j\leq d-1}
d
=
k
+
1
{\displaystyle d=k+1}
0
≤
j
≤
k
{\displaystyle 0\leq j\leq k}
f
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
k
+
1
Q
(
x
)
f
(
1
)
(
x
)
=
(
k
+
1
)
(
x
−
x
0
)
k
Q
(
x
)
+
(
x
−
x
0
)
k
+
1
Q
(
1
)
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
k
[
(
k
+
1
)
Q
(
x
)
+
(
x
−
x
0
)
Q
(
1
)
(
x
)
]
=
(
x
−
x
0
)
k
R
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=(x-x_{0})^{k+1}Q(x)\\[5pt]f^{(1)}\!(x)&=(k+1)(x-x_{0})^{k}Q(x)+(x-x_{0})^{k+1}Q^{(1)}\!(x)\\[5pt]&={\color {blue}(x-x_{0})^{k}}{\color {red}{\bigl [}(k+1)Q(x)+(x-x_{0})Q^{(1)}\!(x){\bigr ]}}\\[5pt]&={\color {blue}(x-x_{0})^{k}}{\color {red}R(x)}\end{aligned}}}
הביטוי הכחול
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
R
(
x
0
)
≠
0
{\displaystyle R(x_{0})\neq 0}
◻
{\displaystyle \square }
עתה נגדיר פולינום
f
(
x
)
=
1
(
p
−
1
)
!
x
p
−
1
[
(
1
−
x
)
(
2
−
x
)
⋯
(
n
−
x
)
]
p
=
(
n
!
)
p
(
p
−
1
)
!
x
p
−
1
+
∑
m
=
p
(
n
+
1
)
p
−
1
b
m
(
p
−
1
)
!
x
m
:
b
m
∈
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{(p-1)!}}\,x^{p-1}{\bigl [}(1-x)(2-x)\cdots (n-x){\bigr ]}^{p}\\[5pt]&={\frac {(n!)^{p}}{(p-1)!}}x^{p-1}+\!\!\sum _{m\,=\,p}^{(n+1)p-1}\!\!\!{\frac {b_{m}}{(p-1)!}}x^{m}\quad :b_{m}\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}
כאשר
p
{\displaystyle p}
מספר ראשוני המקיים
p
>
max
{
a
0
,
n
}
{\displaystyle p>\max\{a_{0},n\}}
f
(
k
)
(
x
)
=
∑
m
=
k
(
n
+
1
)
p
−
1
k
!
(
p
−
1
)
!
(
m
k
)
b
m
x
m
−
k
:
p
≤
k
≤
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle f^{(k)}\!(x)=\!\!\sum _{m\,=\,k}^{(n+1)p-1}\!\!\!{\frac {k!}{(p-1)!}}{\binom {m}{k}}b_{m}x^{m-k}\quad :p\leq k\leq (n+1)p-1}
לכן לכל
k
≥
p
{\displaystyle k\geq p}
f
(
k
)
(
x
)
{\displaystyle f^{(k)}\!(x)}
p
{\displaystyle p}
1
≤
m
≤
n
{\displaystyle 1\leq m\leq n}
F
(
m
)
=
∑
k
=
0
(
n
+
1
)
p
−
1
f
(
k
)
(
m
)
=
∑
k
=
p
(
n
+
1
)
p
−
1
f
(
k
)
(
m
)
{\displaystyle F(m)=\!\!\sum _{k\,=\,0}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(m)=\!\!\sum _{k\,=\,p}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(m)}
ולכן
F
(
m
)
{\displaystyle F(m)}
מספר שלם המתחלק ב-
p
{\displaystyle p}
לעומת זאת, עבור
m
=
0
{\displaystyle m=0}
F
(
0
)
=
∑
k
=
0
(
n
+
1
)
p
−
1
f
(
k
)
(
0
)
=
∑
k
=
p
−
1
(
n
+
1
)
p
−
1
f
(
k
)
(
0
)
{\displaystyle F(0)=\!\!\sum _{k\,=\,0}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(0)=\!\!\sum _{k\,=\,p-1}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(0)}
אך
f
(
p
−
1
)
(
0
)
=
(
n
!
)
p
{\displaystyle f^{(p-1)}\!(0)=(n!)^{p}}
n
,
a
0
{\displaystyle n,a_{0}}
p
{\displaystyle p}
a
0
F
(
0
)
{\displaystyle a_{0}F(0)}
p
{\displaystyle p}
מסקנה:
N
=
∑
m
=
0
n
a
m
F
(
m
)
{\displaystyle N=\sum _{m\,=\,0}^{n}a_{m}F(m)}
p
{\displaystyle p}
N
≠
0
{\displaystyle N\neq 0}
לפי השלב הראשון, לכל
1
≤
m
≤
n
{\displaystyle 1\leq m\leq n}
0
<
x
m
<
m
≤
n
{\displaystyle 0<x_{m}<m\leq n}
A
m
=
−
m
e
m
−
x
m
f
(
x
m
)
=
−
m
e
m
−
x
m
(
p
−
1
)
!
(
x
m
)
p
−
1
[
(
1
−
x
m
)
(
2
−
x
m
)
⋯
(
n
−
x
m
)
]
p
|
A
m
|
=
m
e
m
−
x
m
(
p
−
1
)
!
(
x
m
)
p
−
1
|
(
1
−
x
m
)
(
2
−
x
m
)
⋯
(
n
−
x
m
)
|
p
≤
n
e
n
(
p
−
1
)
!
n
p
−
1
(
1
⋅
2
⋯
n
)
p
=
e
n
(
n
⋅
n
!
)
p
(
p
−
1
)
!
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{m}&=-m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}f(x_{m})=-{\frac {m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}}{(p-1)!}}\,(x_{m})^{p-1}{\bigl [}(1-x_{m})(2-x_{m})\cdots (n-x_{m}){\bigr ]}^{p}\\[5pt]|A_{m}|&={\frac {m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}}{(p-1)!}}\,(x_{m})^{p-1}{\Big |}(1-x_{m})(2-x_{m})\cdots (n-x_{m}){\Big |}^{p}\\[5pt]&\leq {\frac {n\,{\text{e}}^{n}}{(p-1)!}}\,n^{p-1}(1\cdot 2\cdots n)^{p}={\text{e}}^{n}{\frac {(n\cdot n!)^{p}}{(p-1)!}}\end{aligned}}}
על־פי אי-שוויון המשולש מתקיים
0
<
|
N
|
=
|
∑
m
=
0
n
a
m
F
(
m
)
|
=
|
∑
m
=
1
n
a
m
A
m
|
≤
∑
m
=
1
n
|
a
m
A
m
|
≤
(
∑
m
=
1
n
|
a
m
|
)
e
n
(
n
⋅
n
!
)
p
(
p
−
1
)
!
{\displaystyle 0<|N|=\left|\sum _{m\,=\,0}^{n}a_{m}F(m)\right|=\left|\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\right|\leq \sum _{m\,=\,1}^{n}|a_{m}A_{m}|\leq \left(\sum _{m\,=\,1}^{n}|a_{m}|\right){\text{e}}^{n}{\frac {(n\cdot n!)^{p}}{(p-1)!}}}
אך
lim
p
→
∞
(
n
⋅
n
!
)
p
(
p
−
1
)
!
=
0
{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {(n\cdot n!)^{p}}{(p-1)!}}=0}
p
{\displaystyle p}
גדול מספיק מתקיים
0
<
|
N
|
<
1
{\displaystyle 0<|N|<1}
סתירה .
◻
{\displaystyle \square }
מסקנה:
e
{\displaystyle {\text{e}}}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
![{\displaystyle f(x)=x^{k}{\bigl [}(x-1)(x-2)\cdots (x-n){\bigr ]}^{k+1}e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8edd811419ac8cfc2c54a676a78aea2d630eab)
![{\displaystyle c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=c_{a}\int \limits _{0}^{\infty }(x+a)^{k}{\bigl [}(x+a-1)\cdots x\cdots (x+a-n){\bigr ]}^{k+1}e^{-x}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3421a7fd03825f619e831d080ba79d74909427)
![{\displaystyle x\in [0,n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6353d734e3069864262a03b54fac28f8a64813)
![{\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d698e8a0d104d6b3c5d3efacd0650d8a492fc27)
![{\displaystyle G'\!(x)={\text{e}}^{-x}F'\!(x)-{\text{e}}^{-x}F(x)={\text{e}}^{-x}{\bigl [}F'\!(x)-F(x){\bigr ]}=-{\text{e}}^{-x}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e07a58d9c3e966fb95130dc581d0557b5922fbf)
![{\displaystyle [0,m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be36490b34e5d66e9566fa907c0e78fb3cd4540)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(m)-{\text{e}}^{m}F(0)=-m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}f(x_{m})=A_{m}\\[6pt]a_{m}F(m)-a_{m}{\text{e}}^{m}F(0)=a_{m}A_{m}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc005211ec1fdcd4877ace65c48c611b956b936f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}{\text{e}}^{m}F(0)=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-F(0)\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}{\text{e}}^{m}=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-F(0)(-a_{0})=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,0}^{n}a_{m}F(m)=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9beb06d624b9a3636b986428bebe91b8113ac2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=(x-x_{0})^{k+1}Q(x)\\[5pt]f^{(1)}\!(x)&=(k+1)(x-x_{0})^{k}Q(x)+(x-x_{0})^{k+1}Q^{(1)}\!(x)\\[5pt]&={\color {blue}(x-x_{0})^{k}}{\color {red}{\bigl [}(k+1)Q(x)+(x-x_{0})Q^{(1)}\!(x){\bigr ]}}\\[5pt]&={\color {blue}(x-x_{0})^{k}}{\color {red}R(x)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e4e5a39a74d7a6eab742a1b08363077b6c0317)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{(p-1)!}}\,x^{p-1}{\bigl [}(1-x)(2-x)\cdots (n-x){\bigr ]}^{p}\\[5pt]&={\frac {(n!)^{p}}{(p-1)!}}x^{p-1}+\!\!\sum _{m\,=\,p}^{(n+1)p-1}\!\!\!{\frac {b_{m}}{(p-1)!}}x^{m}\quad :b_{m}\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8a45520f4ec461bffa5cd57370e2eb4f7bc7d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{m}&=-m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}f(x_{m})=-{\frac {m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}}{(p-1)!}}\,(x_{m})^{p-1}{\bigl [}(1-x_{m})(2-x_{m})\cdots (n-x_{m}){\bigr ]}^{p}\\[5pt]|A_{m}|&={\frac {m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}}{(p-1)!}}\,(x_{m})^{p-1}{\Big |}(1-x_{m})(2-x_{m})\cdots (n-x_{m}){\Big |}^{p}\\[5pt]&\leq {\frac {n\,{\text{e}}^{n}}{(p-1)!}}\,n^{p-1}(1\cdot 2\cdots n)^{p}={\text{e}}^{n}{\frac {(n\cdot n!)^{p}}{(p-1)!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e2707ebafc670dd289c2933a481b4f92d4a48e)
