ישרים מקבילים

ישרים מקבילים הם ישרים הנמצאים באותו מישור ואינם נחתכים (נפגשים).

זוג ישרים מקבילים, a ו-b, נחתכים על ידי ישר שלישי, t

אקסיומת המקבילים שהיא אחת האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית, קובעת כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון". גאומטריות לא אוקלידיות מחליפות אקסיומה זו באקסיומות אחרות:

  • בגאומטריה ההיפרבולית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: "דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה". מכך נובע כי דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה.
  • בגאומטריה הספירית, שאותה פיתח ברנהרד רימן, מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: "דרך נקודה מחוץ לישר לא ניתן להעביר ישר מקביל לישר הנתון".

תכונות של ישרים מקבילים בגאומטריה האוקלידיתעריכה

  • כל הנקודות על ישר נתון נמצאות באותו מרחק מהישר המקביל לו.
  • כאשר ישר חותך זוג ישרים מקבילים, נוצרות זוויות מתאימות אשר שוות זו לזו (בציור שלפנינו: הזוויות המסומנות באות   ונמצאות בצדו האחד של הישר החותך)

כאשר ישר חותך זוג ישרים מקבילים, הזוויות הסמוכות שנוצרות משלימות זו את זו ל-180 מעלות (בציור שלפנינו: הזוויות המסומנות באותיות   ו- ).

מצולעים אחדים מתאפיינים בקיומן של צלעות מקבילות:

  • במקבילית יש שני זוגות של צלעות מקבילות. מלבן, מעוין וריבוע הם מקרים פרטיים של מקבילית, ולכן גם בכל אחד מהם יש שני זוגות של צלעות מקבילות.
  • בטרפז יש זוג אחד של צלעות מקבילות.
  • במצולע משוכלל שמספר צלעותיו זוגי, כל צלע מקבילה לצלע הנגדית.

יחס טרנזטיביעריכה

ישרים מקבילים מקיימים יחס טרנזיטיבי כלומר אם ישר a מקביל לישר b וישר b מקביל לישר c, אז ישר a מקביל לישר c.

זוויות בין שני ישרים מקבילים הנחתכים על ידי ישר שלישיעריכה

זוויות חד-צדדיותעריכה

 
α + β = 180

זוויות חד-צדדיות הן שתי זוויות שנכלאות על ידי ישרים מקבילים וישר החותך אותם כאשר שתי הזוויות מאותו צד של הישר החותך, אך מצדדים שונים של המקבילים. סכום זוויות חד-צדדיות הוא 180 מעלות (ברדיאנים  ).

הוכחהעריכה

ההוכחה נובעת מהאקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים. על פי האקסיומה, כל שני ישרים שהזוויות הנכלאות מצד אחד שלהן קטנות מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אם יוארכו מספיק בצד זה, יפגשו לבסוף, כלומר הם אינם מקבילים.

מהאקסיומה נובע כי אם ורק אם סכום הזויות האלו היה 180 מעלות, הם היו מקבילות (אם הן יותר מ-180, בצד השני הן פחות מ-180 ולכן רק אם הן 180 בדיוק).

מכך ניתן להוכיח כי כל שני ישרים מקבילים כולאים ביניהם זוויות של 180 מעלות, אחרת הם אינם מקבילים.

שימושעריכה

זוויות חד-צדדיות משמשות להגדרה של זוויות מתאימות, זוויות מתחלפות (ראו להלן), זוויות שוק בטרפז שווה-שוקיים, ועוד.

זוויות מתאימותעריכה

 
ניתן להוכיח כי α = β באמצעות יחס השלמה ל-180° עם γ.

זוויות מתאימות הן שתי זוויות הנוצרות משני ישרים מקבילים הנחתכים על ידי ישר שלישי, כאשר שניהם מאותו צד של החותך ושל המקבילים.

זוויות מתאימות שוות זו לזו.

הוכחהעריכה

נתבונן בציור משמאל.

α + γ = 180° (זוויות צמודות)

α = 180° - γ (חישוב)

β + γ = 180° (זוויות חד-צדדיות)

β = 180° - γ (חישוב)

α = β

מש"ל.

זוויות מתחלפותעריכה

 
ניתן להוכיח כי α = β באמצעות היחסים ביניהם לγ.

זוויות מתחלפות הן שתי זוויות הנוצרות משני ישרים מקבילים הנחתכים על ידי ישר שלישי, וכל אחת מהן נמצאת בצד אחר של הישר החותך ובצד אחר של המקבילים מהשנייה (ראה בציור זוויות אלפא וביתא).

זוויות מתחלפות שוות זו לזו.

הוכחהעריכה

נתבונן בזוויות אלפא, ביתא וגמא בציור.

α + γ = 180° (זוויות חד-צדדיות)

β + γ = 180° (זוויות צמודות)

α = 180° - γ (חישוב)

β = 180° - γ (חישוב)

α = β

מש"ל.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה