כיסוי האוריינטציות

בטופולוגיה, כיסוי האוריינטציות של יריעה הוא מרחב כיסוי של היריעה שאפשר להפוך גם לאגד או לאלומה. באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר קרקטר כפלי של החבורה היסודית $\pi _{1}(M)$ המודד באיזו מידה היריעה אינה אוריינטבילית. קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריאנטבילי עבור יריעה לא אוריאנטבילית.

כיסוי האוריינטציות של משטח $M$ במרחב: נדמיין שהמשטח עשוי מנייר דו-שכבתי, ונפריד את השכבות. היריעה שתתקבל תהיה המרחב המכסה $\operatorname {orient} _{M}$. העתקת הכיסוי $\,p:\operatorname {orient} _{M}\to M$ היא ההדבקה של שתי השכבות בחזרה. במקרה ש $M$ היא טבעת מביוס (זאת אומרת טבעת עם חצי פיתול) היריעה המתקבלת לאחר הפרדת השכבות היא טבעת עם פיתול שלם. יריעה זאת דיפאומורפית לטבעת רגילה, ובפרט היא אוריינטבילית

רקע

ערך מורחב – אוריינטציה

אוריינטציה היא מבנה מופשט שניתן (לעיתים) להגדיר על יריעה. לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר אוריינטציה נקראת אוריינטבילית (Orientability). על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב-$o$ אז את השנייה מסמנים ב-$-o$. יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).

המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיוון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.

הגדרת הכיסוי

אוריינטציה בנקודה

כיסוי האוריינטציות מבוסס על מושג האוריינטציה בנקודה. תהי $M$ יריעה חלקה. ו-$x$ נקודה עליה. אוריינטציה של $M$ ב-$x$ מוגדרת בתור אוריינטציה על המרחב המשיק $.T_{x}M$ באופן כללי יותר אם $M$ יריעה טופולוגית אז אוריינטציה של $M$ ב-$x$ מוגדרת בתור יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית $.H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} )$

כיסוי האוריינטציות

נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה $x$ ב-$\operatorname {orient} _{M}(x)$ (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי $\operatorname {orient} _{M}$ באופן הבא:

$\operatorname {orient} _{M}:=\bigcup _{x\in M}\operatorname {orient} _{M}(x).$,

כאשר הטופולוגיה על $\operatorname {orient} _{M}$ מוגדרת מקומית על ידי זיהוי של סביבה פתוחה $U\subset M$ עם $\mathbb {R} ^{n}$, ודרכה זיהוי של $\operatorname {orient} _{U}$ עם $U\times \{1,-1\}$. קל לראות שהטופולוגיה המתקבלת על $orient_{U}$ אינה תלויה בזיהוי.

המרחב $\operatorname {orient} _{M}$ מצייד בהעתקה טבעית

$\,p:\operatorname {orient} _{M}\to M$

ולפי הבנייה, העתקה זו היא כיסוי. הזוג $(\operatorname {orient} _{M},p)$ נקרא כיסוי האוריינטציות, זהו כיסוי דו-יריעתי.

כיסוי האוריינטציות הוא טריוויאלי (זאת אומרת איזומורפי ל-$M\times \{1,-1\}$) אם ורק אם $M$ אוריינטבילית. אם $M$ קשירה אז כיסוי האוריינטציות קשיר אם ורק אם $M$ לא אוריינטבילית. ניתן להראת כי בחירת חתך (Section) רציף של כיסוי האוריינטציות שקול לבחירת אוריינטציה.

החבורה $S_{2}=\{1,-1\}$ פועלת על הסיבים (Fiber) של כיסוי האוריינטציות באופן חופשי וטרנזיטיבי. כיסוי עם פעולה כזאת נקרא $S_{2}$-טורסור.

אפיון של כיסוי האוריינטציות

המרחב המכסה $\operatorname {orient} _{M}$ הוא תמיד אוריינטבילי. יתר על כן, מרחב זה מצויד באוריינטציה טבעית

מאידך, אם $M$ יריעה קשירה לא אוריינטבלית ו-$\pi :{\widetilde {M}}\to M$ כיסוי דו-יריעתי אוריינטבילי שלה, אז הכיסוי $({\widetilde {M}},\pi )$ איזומורפי לכיסוי האוריינטציות.

דוגמאות

יריעה לא אוריינטבילית	כיסוי האוריינטציות שלה
טבעת מביוס	טבעת רגילה (זאת אומרת גליל)
מישור פרויקטיבי מוטבע במרחב,,	ספירה
מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי	ספירה מאותו ממד
בקבוק קליין הדבקה של בקבוק קליין. על מנת לקבל את היריעה, יש להדביק כל צלע לצלע שצבועה באותו צבע, לפי כיוון החץ.	טורוס הדבקה של הטורוס. מתאור ההדבקה קל לראות שהטורוס הוא כיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין.
משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים משטח (קשיר) לא אוריינטבילי $\Sigma '_{n+1}$ מגנוס ${n+1}$. ניתן לתאר אותו בתור הסכום הקשיר (Connected sum) $\Sigma '_{n+1}={\underset {{n+1}{\text{ copies }}}{\underbrace {\mathbb {RP} ^{2}\#\dots \#\mathbb {RP} ^{2}} }}$ כאשר $\mathbb {RP} ^{2}$ הוא המישור הפרויקטיבי.	משטח (קשיר) אוריינטבילי $\Sigma _{n}$ מגנוס $n$. המשטח נראה כספירה שחיברו אליה $n$ ידיות. לחלופין ניתן לתאר אותו בתור $\Sigma _{n}=S^{2}\#{\underset {n{\text{ copies }}}{\underbrace {T^{2}\#\dots \#T^{2}} }}$ כאשר $S^{2}$ היא הסיפרה ו$T^{2}$ הוא הטורוס.

קרקטר האוריינטציות

ערך מורחב – קרקטר האוריינטציות

נקבע נקודה $x\in M$. אנו מקבלים פעולת מונודרומיה (Monodromy) של החבורה היסודית $\pi _{1}(M)$ על הסיב של $\operatorname {orient} _{M}$. פעולה זו מגדירה קרקטר כפלי,

$$\chi :\pi _{1}(M)\to \{1,-1\}.$$

קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. הוא שולח כל (מחלקה של) מסילה סגורה אל $1$ אם היא שומרת על האוריינטציה, ואל $-1$ אחרת. יריעה קשירה $M$ היא אוריינטבלית אם ורק אם קרקטר האוריינטציות שלה טריוויאלי, כלומר כל איבר של החבורה היסודית (ואף של ההומולוגיה הראשונה של היריעה) שומר על האוריינטציה.

אגד האוריינטציות

את כיסוי האוריינטציות $orient_{M}$ ניתן להפוך לאגד האוריינטציות $Orient_{M}$. באופן אינטואיטיבי הסיב של $Orient_{M}$ בנקודה $,x\in M$ הוא ישר העובר דרך שתי הנקודות של $.orient_{M}(x)$ באופן פורמלי $Orient_{M}$ מוגדר להיות מרחב המנה של $orient_{M}\times \mathbb {R}$ תחת יחס השקילות הבא: $.((x,o),r)\sim ((x,-o),-r)$ זהו אגד קווי.

קיים איזומורפיזם קנוני בין $Oreint_{M}\otimes Oreint_{M}$ לאגד הטריוויאלי. במילים אחרות $Oreint_{M}\cong Oreint_{M}^{*}$.

לבניה זאת יש גם גרסה ליניארית: עבור מרחב ליניארי $V$ ניתן להגדיר את ישר האוריינטציות עליו $Orient(V)$. זהו מרחב ליניארי חד־ממדי שקבוצת האוריינטציות על $V$ היא תת-קבוצה בתוכו. התכונות של אגד האוריינטציות מתקיימות גם עבור ישר האוריינטציות.

אגד הצפיפויות

באופן אינטואיטיבי אפשר לחשוב על תבנית בתור נפח מכוון (זאת אומרת נפח עם סימן). לדוגמה אם $\omega$ היא התבנית הסטנדרטית על $\mathbb {R} ^{n}$ אז $|\omega (v_{1},\dots ,v_{n})|$ הוא הנפח של המקבילון הנפרס על ידי $.\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ אולם $\omega (v_{1},\dots ,v_{n})$ לאו דווקא חיובי. אפשר לחשוב על אוריינטציה בתור זיקוק הסימן מהתבנית. באופן דומה אפשר להגדיר את מושג הצפיפות שהוא זיקוק הנפח מהתבנית.

את אגד הצפיפויות ניתן להגדיר בעזרת אגד האוריינטציות:

$$,D_{M}:=\Omega _{M}^{top}\otimes Orient_{M}^{*}=\Omega _{M}^{top}\otimes Orient_{M}$$

כאשר $\Omega _{M}^{top}$ הוא אגד התבניות הדיפרנציאליות.

מכאן אנו מקבלים את הפירוק:

$.\Omega _{M}^{top}=D_{M}\otimes Orient_{M}^{*}$

ניתן להפוך את הפירוק הזה למפורש יותר באופן הבא: תהי $\omega \in \Omega _{M}^{top}(M)$ תבנית דיפרנציאלית הפיכה. נסמן ב-$sign(\omega )$ את האוריינטציה המתאימה. ניתן לחשוב על $sign(\omega )$ כעל חתך של $orient_{M}$ או לחלופין של $Orient_{M}$. נסמן

$$|\omega |=\omega \times sign(\omega )\in \Omega _{M}^{top}\otimes Orient_{M}(M)=D_{M}(M).$$

אנו מקבלים

$$\omega =sign(\omega )|\omega |$$

במילים אחרות, ניתן לחשוב על תבנית דיפרנציאלית הפיכה בתור שילוב של האוריינטציה (הסימן של התבנית) וצפיפות (הערך המוחלט של התבנית). אינטואיטיבית, צפיפות היא אפשרות להגדיר נפח. להבדיל מתבניות דיפרנציאליות, ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות גם ללא בחירת אוריינטציה. מכאן, צפיפות מגדירה מידה (לאו-דווקא חיובית). למעשה מושגים אלה כמעט שקולים.

המקרה ליניארי

בדומה לתבניות ולאוריינטציות, גם צפיפויות ניתן להגדיר עבור מרחב ליניארי וגם שם מתקיים אותו הפירוק. במקרה הליניארי ניתן לחשוב על שלושת האובייקטים האלה כעל פונקציות על קבוצת הבסיסים $.{\mathcal {B}}$

תהי $.f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R}$

• $f$ היא תבנית אם לכל שני בסיסים $b_{1},b_{2}\in {\mathcal {B}}$ מתקיים $f(b_{1})=\det(M_{b_{1}}^{b_{2}})f(b_{2})$ כאשר $M_{b_{1}}^{b_{2}}$ היא מטריצת המעבר בין הבסיסים.
• $f$ היא איבר בישר האוריינטציות אם לכל $b_{1},b_{2}\in {\mathcal {B}}$ מתקיים $.f(b_{1})=sign(\det(M_{b_{1}}^{b_{2}}))f(b_{2})$ $f$ היא אוריינטציה ממש אם בנוסף ערכיה הם ±1.
• $f$ היא צפיפות אם לכל $b_{1},b_{2}\in {\mathcal {B}}$ מתקיים $.f(b_{1})=|\det(M_{b_{1}}^{b_{2}})|f(b_{2})$

תיאור זה מסביר את הפירוק למעלה. כמו כן אפשר להבין מתיאור זה מדוע ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות ולא של תבנית, לאור העבדה שבנוסחת החלפת המשתנים של אינטגרל מרובה, מופיע הערך המוחלט של היעקוביאן ולא היעקוביאן עצמו.

אלומת האוריינטציות

את כיסוי האוריינטציות $orient_{M}$ ניתן גם להפוך לאלומת האוריינטציות $,{\mathcal {O}}rient_{M}$ באופן דומה לבניית אגד האוריינטציות. עבור קבוצה פתוחה קשירה $U\subset M$ נגדיר

$${\mathcal {O}}rient_{M}(U):=(orient(U)\times \mathbb {Z} )/S_{2},$$

כאשר $orient(U)$ היא קבוצת האוריינטציות על $M$ והפעולה של $S_{2}$ היא אלכסונית. בעזרת אקסיומות האלומה ניתן להכליל הגדרה זאת לקבוצות פתוחות כלליות.

אלומת האוריינטציות היא אלומה קבועה מקומית (Local property). הרחבת סקלרים (Extension of scalars) של אלומה זו ל-$\mathbb {R}$ היא אלומה קבועה מקומית של מרחבים ליניאריים, במילים אחרות מערכת מקומית (Local system). הגדרה שקולה של מערכת מקומית היא – אגד עם קישוריות (Connection) שטוחה. כך אנו מקבלים אגד עם קישוריות שמתאים לאלומת האוריינטציות. אגד זה איזומורפי קנונית לאגד האוריינטציות. מכאן שקיבלנו קישוריות שטוחה על אגד האוריינטציות.

אלומת האוריינטציות היא מקרה פרטי של מושג הקומפלקס המדאל (dualizing complex). לכל מרחב טופולוגי $X$ (קומפקטי מקומית) ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל. זהו אובייקט בקטגוריה הנגזרת (Derived category) של האלומות על $.X$ אם $X$ היא יריעה אז האובייקט המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת למקום ה-$.n:=\dim(X)$

קישורים חיצוניים

• Orientation covering, ב-Manifold Atlas (באנגלית)