עריכה
הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.
תהיינה
f
(
x
)
,
g
(
x
)
:
R
→
R
{\displaystyle \ f(x),g(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
g
{\displaystyle \ g}
f
{\displaystyle \ f}
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle \ h(x)=f(g(x))}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
{\displaystyle \ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)}
כלומר, הנגזרת של
h
{\displaystyle \ h}
f
,
g
{\displaystyle \ f,g}
g
′
{\displaystyle \ g'}
f
′
{\displaystyle \ f'}
g
{\displaystyle \ g}
סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון
d
h
d
x
{\displaystyle \ {\frac {dh}{dx}}}
d
h
d
x
=
d
h
d
g
⋅
d
g
d
x
{\displaystyle \ {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}}
דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).
עריכה
בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת אומר שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת הוא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה, זאת תחת דרישת הדיפרנציאביליות .
אם הפונקציה
f
{\displaystyle \ f}
x
{\displaystyle \ x}
g
{\displaystyle \ g}
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
D
x
(
g
∘
f
)
=
D
f
(
x
)
(
g
)
⋅
D
x
(
f
)
{\displaystyle {\mbox{D}}_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\cdot {\mbox{D}}_{x}\left(f\right)}
כאשר
D
x
{\displaystyle \ {\mbox{D}}_{x}}
x
{\displaystyle \ x}
לפי הגדרת הנגזרת, עלינו לחשב את
lim
x
→
x
0
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
x
0
)
)
x
−
x
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{x-x_{0}}}}
נניח קודם כל, כי יש סביבה של
x
0
{\displaystyle x_{0}}
g
(
x
)
≠
g
(
x
0
)
{\displaystyle g(x)\neq g(x_{0})}
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
{\displaystyle g(x)-g(x_{0})}
lim
x
→
x
0
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
x
0
)
)
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
⋅
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}}\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}}
על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.
ההוכחה הזו לא עובדת למשל בפונקציה
g
(
x
)
=
x
2
sin
(
1
x
)
{\displaystyle g(x)=x^{2}\sin({\frac {1}{x}})}
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
g
(
0
)
=
g
(
t
)
=
0
{\displaystyle g(0)=g(t)=0}
כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר Q. הערך של Q יהיה שונה מהמוכפל השמאלי רק במקרים בהם
g
(
x
)
=
g
(
x
0
)
{\displaystyle g(x)=g(x_{0})}
Q
(
y
)
=
{
f
(
y
)
−
f
(
g
(
x
0
)
)
y
−
g
(
x
0
)
,
y
≠
g
(
x
0
)
,
f
′
(
g
(
x
0
)
)
,
y
=
g
(
x
0
)
.
{\displaystyle Q(y)={\begin{cases}{\frac {f(y)-f(g(x_{0}))}{y-g(x_{0})}},&y\neq g(x_{0}),\\f'(g(x_{0})),&y=g(x_{0}).\end{cases}}}
כעת נחשב את הגבול:
lim
x
→
x
0
Q
(
g
(
x
)
)
⋅
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}}
חישוב זה ייתן לנו את התוצאה הרצויה כיוון שמתקיים תמיד:
Q
(
g
(
x
)
)
⋅
g
(
x
)
−
g
(
x
0
)
x
−
x
0
=
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
x
0
)
)
x
−
x
0
{\displaystyle Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{x-x_{0}}}}
ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – במקרה בו
g
(
x
)
=
g
(
x
0
)
{\displaystyle g(x)=g(x_{0})}
כיוון ש-f גזירה בנקודה
g
(
x
0
)
{\displaystyle g(x_{0})}
אריתמטיקה של גבולות , נקבל את התוצאה הרצויה.
עריכה
נרצה לגזור את הפונקציה
h
(
x
)
=
(
1
+
x
2
)
3
{\displaystyle h(x)=(1+x^{2})^{3}}
נשים לב כי
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle \ h(x)=f(g(x))}
g
(
x
)
=
1
+
x
2
{\displaystyle \ g(x)=1+x^{2}}
f
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle \ f(x)=x^{3}}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
{\displaystyle \ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)}
f
′
(
g
(
x
)
)
=
3
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle \ f'(g(x))=3(1+x^{2})^{2}}
g
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle \ g'(x)=2x}
ועל ידי הצבה נקבל:
h
′
(
x
)
=
3
(
1
+
x
2
)
2
⋅
2
x
{\displaystyle \ h'(x)=3(1+x^{2})^{2}\cdot 2x}
הנגזרת של הפונקציה
f
−
1
(
x
)
{\displaystyle \ f^{-1}(x)}
(
f
−
1
)
′
(
b
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
b
)
)
{\displaystyle \ (f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}}
כלל זה נובע מכלל השרשרת מאחר ש-
[
f
(
f
−
1
(
x
)
]
=
x
{\displaystyle [f(f^{-1}(x)]=x}
מספרים הופכיים היא 1, ולכן נגזרת הפונקציה החיצונית היא ההופכי של נגזרת הפונקציה הפנימית.
![{\displaystyle [f(f^{-1}(x)]=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954eefcc7cd6c9a335a3f91f778ffd8826671f98)