כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה

כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה) הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות הקרוי על שמו של גוטפריד וילהלם לייבניץ.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות: $\left(fg\right)'=f'g+fg'$ לכל שתי פונקציות $f$ ו-$g$, או בסימוני לייבניץ:

${\frac {\mathrm {d} (uv)}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}v+u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}$

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

$\int uv'\,\mathrm {d} x=uv-\int u'v\,\mathrm {d} x$

הוכחה

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

$\ (f\cdot g)^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}=$

$\ =\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)[f(x+h)-f(x)]+f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h}}=$

$\ =\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot \lim _{h\to 0}g(x+h)+\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=$

$\ =f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי:
לכל שתי פונקציות חיוביות $\ f,g$ מתקיים $\ \ln \ (fg)=\ln \ f+\ln \ g$.
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

$\ {\frac {(fg)'}{fg}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}$

הכללות

גזירה חוזרת

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-$n$-ית:

$(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$

כאשר ${n \choose k}$ הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה, ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.

מכפלה של כמה פונקציות

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:

$\ (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$ וכן

$\ (uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'$ וכו'.

באופן כללי, אם הפונקציה היא $f(x)=\prod _{i=1}^{n}f_{i}(x)$ הנגזרת היא:

$f'=\sum _{i=1}^{n}f_{i}'\prod _{k=1 \atop k\neq i}^{n}f_{k}$.

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-$0$, אפשר לכתוב את זה גם כך:

${\frac {(f_{1}\cdots f_{n})'}{f_{1}\cdots f_{n}}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+\cdots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}$

ראו גם

• נגזרת
• אינטגרציה בחלקים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה בוויקישיתוף

• כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית)
• כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)