למת לחיצות הידיים

משפט הקובע שבכל גרף לא מכוון קיימים מספר זוגי של צמתים שדרגתם אי זוגית

למת לחיצות הידיים קובעת כי במסיבה שבה חלק מהאנשים לוחצים ידיים, כמות האנשים שלחצו ידיים מספר אי זוגי של פעמים חייבת להיות זוגית. ללמה שימושים בתורת הגרפים, וממנה נובע כי בכל גרף לא מכוון קיימים מספר זוגי של צמתים שדרגתם אי זוגית. הלמה היא תוצאה של נוסחת סכום הדרגות (נקראת גם: משפט הדרגה או משפט הדרגות) לפיה לכל גרף מתקיים: [1]. שתי התוצאות אלו הוכחו על ידי לאונרד אוילר במאמרו על בעיית הגשרים של קניגסברג שהיווה את הבסיס לתורת הגרפים.

בגרף יש מספר זוגי של צמתים (הצמתים 2, 4, 5, 6) בעלי דרגה אי זוגית. וסכום הדרגות של הצמתים הוא 14=2+3+2+3+3+1 שהוא פעמיים מספר הקשתות

הצמתים בעלי דרגה אי זוגית נקראים לפעמים צמתים אי זוגיים או קודקודים אי זוגיים, ולפי המינוח הזה נוכל לומר שהלמה קובעת שבכל גרף לא מכוון יש מספר זוגי של צמתים אי זוגיים.

הוכחהעריכה

נוכיח קודם את נוסחת סכום הדרגות ובאמצעותה נוכיח את הלמה:

נספור בשתי דרכים שונות את מספר הזוגות   כאשר   מסמל קשת ו-  הוא צומת ש-  יוצאת ממנו, כל צומת   נמצא ב-  זוגות (שכן יוצאות מהצומת   קשתות), לכן מספר הזוגות הוא סכום כל דרגות הצמתים בגרף. אולם, ניתן לספור גם לפי הקשתות, כל קשת   נמצאת ב-2 זוגות (עם כל אחד מהקצוות של  ), ולכן מספר הזוגות הוא גם פעמיים מספר הקשתות. כלומר קיבלנו את השוויון  .

נוכיח באמצעות השוויון הקודם את הלמה:

נניח בשלילה שיש מספר אי זוגי   של צמתים אי זוגיים בגרף לא מכוון כלשהו, סכום כל הדרגות של הצמתים האי זוגיים הוא אי זוגי (כיוון שחיברנו מספרים אי זוגיים מספר אי זוגי של פעמים), סכום הדרגות של הצמתים בעלי דרגה זוגית הוא זוגי (חיבור מספרים זוגיים תמיד יוצא מספר זוגי). לכן   הוא מספר אי זוגי (כחיבור של מספר זוגי ומספר אי זוגי). אבל מתקיים  . בסתירה לכך שצד שמאל של השוויון הוא אי זוגי, ולכן מספר הצמתים האי זוגיים בכל גרף לא מכוון הוא זוגי.

גרפים רגולרייםעריכה

מנוסחת סכום הדרגות נקבל שלכל גרף  -רגולרי בעל   צמתים יש   קשתות[2]. אם   אי זוגי, מספר הקשתות בגרף חייב להתחלק ב- . כלומר, אם   אי זוגי בגרף יש מספר זוגי של צמתים.

גרפים אינסופייםעריכה

 
גרף אינסופי שלא מקיים את למת לחיצת הידיים

הלמה אינה נכונה בעבור גרפים אינסופיים, וזאת גם אם בגרף ישנם רק מספר סופי של צמתים בעלי דרגה אי זוגית. לדוגמה, לגרף שרוך עם נקודת קצה אחת יש רק צומת יחיד עם דרגה אי זוגית, בניגוד ללמה.

הערות שולייםעריכה

  1. ^   מציין את מספר הקשתות,   מציין מספר הצמתים של   ו-  מציין את הדרגה של הצומת  
  2. ^ Aldous, Joan M.; Wilson, Robin J. (2000), "Theorem 2.2", Graphs and Applications: an Introductory Approach, Undergraduate Mathematics Series, The Open University, Springer-Verlag, p. 44, ISBN 978-1-85233-259-4