טטרציה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, טֶטְרָצְיָה (באנגלית: Tetration או Hyper-4) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"בסיס" וה"גובה". טטרציה מסמנים בסימון $a\uparrow \uparrow b$ או $^{a}b$ כאשר $a$ הוא הבסיס ו-$b$ הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-$b$־ית של $a$ היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a:
     $a\uparrow \uparrow b={}^{b}a=\underbrace {a^{a^{a^{a^{\cdots ^{a}}}}}} _{b}$

גרף הפונקציה $^{x}e$

ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:

$^{b}a={\begin{cases}1,&{\text{if }}b=0\\a^{^{b-1}a},&{\text{if }}b>0\end{cases}}$

מבוא

ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית עקיבה , המוגדרת כ-$a'=a+1$ נחשבת להיפר-פעולה האפס.

1. חיבור:
   $a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{b{\text{ times}}}$
2. כפל:
   $a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b{\text{ times}}}$
3. חזקה:
   $a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b{\text{ times}}}$
4. טטרציה:
   $^{b}a=\underbrace {a^{a^{a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}}} _{b{\text{ times}}}$

יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, ${3^{5}}^{7}$ משמעותו $3^{(5^{7})}$ ולא ${(3^{5})}^{7}$.

תכונות

• כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות $^{a}(^{b}x)={}^{ab}x$ ו $^{a}xy={}^{a}x^{a}{}y$ אינן נכונות ברוב המקרים.
• בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה $^{({^{a}}b)}c={}^{^{a}}(^{b}c)$ אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
• בדומה לחזקה, מתקיים כי $^{0}x=1$ ו $^{1}x=x$
• מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה: $^{a}x=x^{(^{a-1}x)}$
• ממהגדרה למעלה נובע כי: $(^{b}a)^{(^{c}a)}=(^{c+1}a)^{(^{b-1}a)}$ מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:

${\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}$

הכללות

את פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה.

הכללת הבסיס

בסיס אפס

החזקה $0^{0}$ אינה מוגדרת. ולכן, גם טטרציות מהצורה $^{n}0$ אינן מוגדרות כראוי. למרות זאת, הגבול $\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x$ מוגדר וקיים:

$\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}$

ולכן, ניתן להגדיר כי $^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x$

בסיס מרוכב

מאחר שניתן לעלות מספרים מרוכבים בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה $z=a+bi$.

לדוגמה, עבור $^{n}z$ כאשר $z=i$, ניתן באמצעות נוסחת אוילר להראות כי:

$i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)$

ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את $^{n+1}i=a'+b'i$ באמצעות $^{n}i=a+bi$:

${\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}$

הכללת הגובה

גובה אינסופי

ערכי הגבול $\lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x$, שמתכנס רק עבור $e^{-e}\leq x\leq e^{\frac {1}{e}}$

ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול $\lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x$. זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.

לדוגמה, ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.

את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:

${\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}$

לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי $x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!$ מתכנס עבור $e^{-e}\leq x\leq e^{\frac {1}{e}}$.

גובה שלילי שלם

באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:

${^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},$

ניתן למצוא את ${}^{-1}a$:

$^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);$

אם במקום k נציב -1 נקבל:

${}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0$

ערכים שליליים הקטנים מ-1 לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב -2 במקום k באותה משוואה אז נקבל:

${}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0$

וזהו מספר שאינו מוגדר.

פעולות הופכיות

לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: הסופר-שורש והסופר-לוגריתם. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות.

סופר-שורש

הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם $^{n}y=x$ אז $y$ הוא הסופר-שורש ה-$n$־י של $x$, והוא יסומן בצורה $y={\sqrt[{n}]{x}}_{s}$

לדוגמה, אם $^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65,536$ אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 ($2={\sqrt[{4}]{65,536}}_{s}$).

סופר-שורש ריבועי

גרף הפונקציה $y={\sqrt {x}}_{s}$

הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה ${\sqrt[{2}]{x}}_{s}$, או בפשטות ${\sqrt {x}}_{s}$.

הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה $x^{x}$, וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה :

${\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln {x})}={\frac {\ln {x}}{W(\ln {x})}}$

סופר-לוגריתם

הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם $^{y}n=x$ אז $y$ הוא הסופר-לוגריתם מבסיס $n$ של $x$, והוא יסומן בצורה $y={\text{slog}}_{n}{x}$. פונקציה זו מוגדרת עבור כל $n>1$.

תכונות

• ${\text{slog}}_{b}(b^{x})={\text{slog}}_{b}(x)+1$
• ${\text{slog}}_{b}1=0$
• ${\text{slog}}_{b}(x)={\text{slog}}_{b}(\log _{b}{(x)})+1$
• לכל $x$ ממשי מתקיים ${\text{slog}}_{b}(x)>-2$

ראו גם

• היפר-פעולות
• מספרים גדולים
• לוגריתם חוזר

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טטרציה בוויקישיתוף

• טטרציה, באתר MathWorld (באנגלית)