מונואיד חופשי

מונואיד חופשי הוא מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה המאפיינת אובייקטים חופשיים.

הגדרהעריכה

קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי.

מונואיד חופשי   הוא רביעייה סדורה של קבוצה  , פעולה  , איבר  , וקבוצה נוספת   כך ש   מונואיד ומתקיים:

ההגדרות הבאות שקולות:

  1. לכל  מונואיד, ולכל   פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד   כך שמתקיים   כאשר   העתקת ההכלה (כלומר  ). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה  . כל ההומומורפיזמים של המונואיד   נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי   "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי  .[1]
  2.   יוצרת את  , וגם לכל מספר טבעי   ולכל   מתקיים:  . ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה  . אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל  יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים.[1]

דוגמאותעריכה

המספרים הטבעיים  עריכה

הדוגמה הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר   המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר  ), ו  מהווה את  .

כלומר הקבוצה   מכילה מספרים כמו   וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא:   וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי:   וכו'. וניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2.

כוכב קליןעריכה

  ערך מורחב – כוכב קלין

כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים   מסומן ב-  ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו-  המהווה את הקבוצה  . לדוגמה אם   אז   מכיל איברים כגון   וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמה באופן הבא:  .[2]

תתי-מונואידים של המונואיד החופשיעריכה

הגדרת תת-מונואידעריכה

יהי   מונואיד. אומרים כי   תת-מונואיד של   אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות:

  1.  .
  2. אם   אזי  .
  3.  .

חיתוך של תתי-מונואידיםעריכה

משפט: יהי   מונואיד חופשי. תהי   קבוצה של תתי-מונואידים של   כך שלכל   מתקיים כי   מונואיד חופשי. אזי מתקיים   מונואיד חופשי.[1]

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא מונואיד חופשי בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה

  1. ^ 1 2 3 words, ‏02
  2. ^ Group Theory AMS-ASL Joint Special Session Interactions Between Logic, Alexandre Borovik, American Mathematical Society, Ams-asl Joint Special Session on Interac, Groups, Languages, Algorithms: AMS-ASL Joint Special Session on Interactions Between Logic, Group Theory, and Computer Science, January 16-19, 2003, Baltimore, Maryland, American Mathematical Soc., 2005. (באנגלית)