מטריצה נילפוטנטית
במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית כך ש- עבור שלם חיובי כלשהו. באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה ליניארית כך ש- עבור שלם חיובי כלשהו.
אלו מקרים פרטיים של מושג הנילפוטנטיות, המוגדר בכל חוג: מטריצה נילפוטנטית אינה אלא איבר נילפוטנטי באלגברת המטריצות.
דוגמאות
עריכההמטריצה מהצורה הבאה:
היא דוגמה למטריצה נילפוטנטית מסדר 4×4. במטריצה זו לאלכסון האחדים יש את התכונה הבאה:
האלכסון 'נע' באלכסון למעלה, עד שנותרת מטריצת אפסים.
ההעתקה המתאימה למטריצה הנ"ל, מוגדרת על ידי:
תכונות
עריכהמטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה הוא . משום כך, מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים (תכונה המתקיימת ממילא מעל שדה סגור אלגברית), וכל הערכים העצמיים הם אפס.
תהי מטריצה נילפוטנטית ריבועית מסדר , אזי מתקיימות התכונות הבאות:
צורת ז'ורדן
עריכהמשפט: כל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצת הבלוקים האלכסונית הבאה:
כך שכל בלוק הוא מהצורה הבאה:
כלומר, מכיל אחדים מעל האלכסון הראשי, ואפסים בכל שאר המקומות. משפט זה נובע מצורת ז'ורדן, בצירוף עם המשפט הקובע כי כל מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.
תתי מרחבים
עריכההעתקה נילפוטנטית על המרחב מגדירה את תתי המרחבים הבאים:
ואת הסיגנטורות הבאות:
הסיגנטורה מאפיינת את לכדי העתקה ליניארית, וכן מקיימת את האי-שוויונות הבאים:
- .
קישורים חיצוניים
עריכה- מטריצה נילפוטנטית, באתר MathWorld (באנגלית)
- מטריצה נילפוטנטית והעתקה נילפוטנטית באתר PlanetMath (באנגלית)