מטריצה סימטרית

באלגברה ליניארית, מטריצה סימטרית היא מטריצה ריבועית A, הנשמרת תחת פעולת השחלוף, כלומר, מתקיים $\ A^{\top }=A$. אם $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^{n}$ אזי $A^{\top }=[a_{ji}]_{i,j=1}^{n}$ ותנאי הסימטריות למעשה אומר $\forall 1\leq i,j\leq n:a_{ij}=a_{ji}$.

מטריצה סימטרית

ציר הסימטריה הוא האלכסון הראשי כך שהאיברים הנמצאים מעליו שווים לאיברים המשתקפים מתחתיו (תמונת מראה).

הצורה הכללית של מטריצה סימטרית בגודל 3 על 3 היא $\left[{\begin{matrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{matrix}}\right]$

אוסף המטריצות הסימטריות מסדר n הוא מרחב וקטורי. מעל שדה המספרים הממשיים מטריצה סימטרית ממשית היא צמודה לעצמה, ולכן לכסינה אורתוגונלית. בפרט, הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים.

אם מטריצה A היא סימטרית, אז גם $A^{n}$ היא סימטרית לכל n טבעי.

התכונה המרכזית של מטריצות סימטריות

התכונה החשובה ביותר של מטריצות סימטריות היא שכל הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים, ושהיא תמיד לכסינה אורתוגונלית.

הוכחת התכונה

• נוכיח תחילה שכל הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית $A$ הם ממשיים. יהי $v$ וקטור עצמי של $A$, ו-$\lambda$ הערך העצמי המתאים לו. אז $\lambda ^{2}\|v\|^{2}=\lambda ^{2}\langle v,v\rangle =\langle \lambda v,\lambda v\rangle =\langle Av,Av\rangle =\|Av\|^{2}$, ולכן $\lambda ^{2}={\frac {\|Av\|^{2}}{\|v\|^{2}}}$ הוא מספר ממשי חיובי.
• כעת, נוכיח את חלקו השני של המשפט - נראה שווקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים של מטריצה סימטרית ממשית $A$ הם בהכרח אורתוגונליים. מטענה זאת נובע בהכרח כי $A$ לכסינה אורתוגונלית, שכן ניתן להפעיל את תהליך גרם-שמידט על כל אחד מהמרחבים העצמיים שלה ולקבל בסיס אורתוגונלי ל-$\mathbb {R} ^{n}$ בו היא אלכסונית.

יהיו $x,y$ שני וקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים $\lambda ,\mu$ בהתאמה. נחשב את $x^{T}Ay$ בשתי דרכים שונות. ראשית, מכיוון ש-$Ay=\mu y$, מכפלה זאת שווה ל-:

$x^{\top }Ay=x^{\top }(\mu y)=\mu (x\cdot y)$

מצד שני, מכיוון ש-$A^{\top }=A$, נקבל:

$x^{\top }Ay=x^{\top }A^{\top }y=(Ax)^{\top }y=(\lambda x)y=\lambda (x\cdot y)$

מכך נובע: $\mu (x\cdot y)=\lambda (x\cdot y)\implies (\lambda -\mu )(x\cdot y)=0$. מכיוון שהנחנו $\lambda \neq \mu$, השוויון הקודם גורר שבהכרח $x\cdot y=0$, כלומר הווקטורים העצמיים $x$ ו-$y$ בהכרח ניצבים.

מטריצה אנטי-סימטרית

ערך מורחב – מטריצה אנטי-סימטרית

מטריצה A המקיימת $\ A^{\top }=-A$ היא מטריצה אנטי-סימטרית. כאשר שדה הבסיס בעל מאפיין שונה מ-2, כל האיברים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי-סימטרית שווים לאפס. בנוסף לזה, מרחב המטריצות מתפרק לסכום ישר של מרחב המטריצות הסימטריות ומרחב המטריצות האנטי-סימטריות. כל מטריצה A היא סכום של מטריצה סימטרית: ${\frac {A+A^{\top }}{2}}$ ומטריצה אנטי סימטרית: ${\frac {A-A^{\top }}{2}}$ ונוסחת הממדים היא $\ n^{2}={\frac {n^{2}+n}{2}}+{\frac {n^{2}-n}{2}}$.

הצורה הכללית של מטריצה אנטי-סימטרית בגודל 3 על 3 היא $\left[{\begin{matrix}0&x&y\\-x&0&z\\-y&-z&0\end{matrix}}\right]$.

הדטרמיננטה של מטריצה אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי (במאפיין שונה מ-2) היא אפס. עבור מטריצות אנטי-סימטריות מסדר זוגי, הדטרמיננטה היא ריבוע של הפפאפיאן.

הופעות של מטריצות סימטריות בתחומים אחרים

למשפט שקובע שכל הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים, ושהן תמיד לכסינות אורתוגונלית, יש חשיבות רבה הגולשת מתחום האלגברה הליניארית ליישומים רבים בתחומי המדע השונים. להלן מובאות כמה דוגמאות לחשיבות משפט זה:

• העובדה שהתנועה של מערכת של אוסצילטורים הרמוניים מצומדים ניתנת לתיאור כסכום של אופני תנודה עצמיים נובעת מכך שהמטריצה המייצגת את ההתפתחות בזמן של מערכת האוסצילטורים (כלומר, המקשרת בין וקטור המצב ${\vec {X}}(t)$ - אשר רכיביו הם מעתקי המסות המתנודדות - לנגזרת הזמנית השנייה שלו) היא תמיד סימטרית: עבור המקרה של מסה $M$ וקבוע קפיץ $K$ קבועים, התרומה של שינוי $\Delta x_{i}$ של מעתק של המסה ה-i (בעוד שאר המעתקים נשארים קבועים) לתאוצה ${\ddot {x_{i}}}$ היא $-2{\frac {K}{M}}\Delta x_{i}$, בעוד התרומה שלו לתאוצות של שתי המסות השכנות היא בעלת סימן הפוך ושווה למחצית מתרומתו לתאוצתו העצמית - כלומר ${\frac {K}{M}}\Delta x_{i}$ לכל אחת (אודות לחוק השלישי של ניוטון). מטריצת ההתפתחות היא לפיכך סימטרית, ולכן כל הערכים העצמיים שלה ממשיים (במקרה זה, הערכים העצמיים הם התדירויות העצמיות).
• במכניקה אנליטית, מן העובדה שטנזור ההתמד של גוף הוא מטריצה סימטרית נובע שתמיד קיימת מערכת אורתוגונלית של צירים ראשיים, כך שתיאור הסיבוב העצמי של הגוף במערכת הצירים הראשית נעשה פשוט יותר.
• במכניקת הרצף, ניתן לתאר את המאמצים הפועלים על קובייה המצויה בשיווי משקל מכני באמצעות מטריצה סימטרית מסדר 3 על 3 המכונה טנזור מאמצים, אשר איברי האלכסון הראשי שלה הם מאמצי הלחיצה/מתיחה (הפועלים בניצב לפאות הקובייה) הפועלים עליה ואילו כל האיברים שמחוץ לאלכסון מתארים מאמצי גזירה הפועלים על כל פאה במקביל אליה. מכיוון שהקובייה מצויה בשיווי משקל, כל צמד מאמצי גזירה $\tau _{ij}$ ו-$\tau _{ji}$ שווים. המשפט המרכזי על מטריצות סימטריות קובע אז שקיימים מישורים ראשיים (Principal planes) אשר המאמצים הנתונים המופעלים על הקובייה פועלים בדיוק בניצב אליהם (כיווני מאמץ ראשיים); ערכי המאמצים הנורמליים הראשיים הם הערכים העצמיים של טנזור המאמצים וכיווני המאמץ הראשיים הם הוקטורים העצמיים. בנייה זאת מראה כי ניתן להמיר בין מאמצי גזירה הפועלים במערכת צירים אחת למאמצי לחיצה במערכת צירים אחרת.
• במכניקת הזורמים יש לטנזור המאמצים חשיבות מפתח בפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, כשתכונת השקילות בין מאמצי גזירה במערכת צירים אחת למאמצי לחיצה במערכת צירים אחרת באה לידי ביטוי באיבר $(\mu /3)\nabla (\nabla \cdot {\mathbf {v}})$. הופעת איבר זה נוגדת במידה מסוימת את האינטואיציה הפיזיקלית הראשונית, שכן היא מראה שאפקטים של חיכוך צמיגי בין שכבות הזורם (צמיגות הזורם מסומנת $\mu$) מופיעים גם עקב שינויי נפח של אלמנט זורם ולא רק עקב מעוות גזירה.

קישורים חיצוניים

• מטריצה סימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.