מטריצת בלוקים אלכסונית

מטריצת בלוקים אלכסונית היא מטריצה אשר על האלכסון שלה מוצבים "בלוקים" שהם גם מטריצות (מסדר נמוך יותר), וכל שאר ערכי המטריצה הם אפסים. דוגמה לכך היא צורת ז'ורדן או הצורה הרציונלית קנונית.

דוגמה

להלן דוגמה של מטריצה 4 על 4, שבנויה משני בלוקים 2 על 2 באלכסון:

סכום ישר

דרך נוספת לכתוב מטריצת בלוקים אלכסונית היא באמצעות סכום ישר של מטריצות הריבועיות: ${A}_{1}\oplus ...\oplus {A}_{k}$. פירוש הסימון הוא שמציבים את המטריצות $A_{1},...,A_{n}$ באלכסון של מטריצה אלכסונית בלוקים (לפי הסדר). כך למשל, בדוגמה לעיל ניתן לכתוב בקיצור $A\oplus B$.

פעולות

חלק מן הפעולות הטבעיות על מטריצות ניתן לבצע בכל בלוק בנפרד.

• עקבה (מאנגלית - Trace): $tr({A}_{1}\oplus ...\oplus {A}_{k})=tr({A}_{1})+...+tr({A}_{k})$.

• דטרמיננטה: $det({A}_{1}\oplus ...\oplus {A}_{k})=det({A}_{1})\cdot ...\cdot det({A}_{k})$.

• מטריצה הופכית - ${({A}_{1}\oplus ...\oplus {A}_{k})}^{-1}={{A}_{1}}^{-1}\oplus ...\oplus {{A}_{k}}^{-1}$.

נוסחאות אלו עוזרות בחישובים מסוימים, כמו חישוב הפולינום האופייני של מטריצה - מכפלת הפולינום האופייניים של המטריצות באלכסון; והפולינום המינימלי - הכפולה המשותפת המינימלית של הפולינומים המינימליים בבלוקים.

ראו גם

• מטריצת בלוקים