מטריצת הסיאן

באנליזה מתמטית, מטריצת הסיאן (Hessian) היא מטריצה ריבועית, שאיבריה הם הנגזרות החלקיות מסדר שני של פונקציה. מטריצת ההסיאן שימושית במציאת נקודות קיצון של פונקציה מרובת משתנים ובסיווגן. המטריצה קרויה על שם המתמטיקאי הגרמני לודוויג אוטו הסה (Otto Hesse) שפיתח אותה במאה ה־19.

הגדרה פורמלית

תהא $\ f(x_{1},\dots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ פונקציה סקלרית ב-$\ n$ משתנים, שקיימות כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 שלה.

נגדיר את מטריצת ההסיאן $\ H(f)$ בנקודה $\ a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ בתור מטריצה בגודל $\ n\times n$ כך ש: $\ \left[H(f)\right]_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(a)$- הערך של האיבר $\ ij$הוא ערך הנגזרת השנייה של $\ f$בנקודה $\ a$כאשר קודם גוזרים על פי המשתנה $\ x_{j}$ואחר כך על פי המשתנה $\ x_{i}$.

אם כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 הן רציפות (נהוג לסמן זאת $\ f\in C^{2}$), הנגזרות המעורבות על פי אותם משתנים שוות, כלומר $f_{ij}=f_{ji}$. מכאן נובע כי אם $\ f\in C^{2}$ אז מטריצת ההסיאן היא מטריצה סימטרית.

$H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}$

מציאת ערכי קיצון באמצעות מטריצת הסיאן

אם בנקודה $\ a\in \mathbb {R} ^{n}$ הגרדיאנט של $\ f$ הוא וקטור האפס, הנקודה $\ a$ נקראת נקודה קריטית. ממשפט פרמה נובע כי כל נקודת קיצון היא נקודה קריטית, אולם ההפך אינו נכון בהכרח - לא כל נקודה קריטית היא נקודת קיצון, והמשפט אינו נותן דרך לבדוק זאת. במקרים רבים ניתן להכריע באמצעות ההסיאן אם נקודה קריטית היא נקודת קיצון.

בהינתן נקודה קריטית $\ a$ יש לחשב את מטריצת ההסיאן של הפונקציה בנקודה זו. כעת בודקים את סימנם של הערכים העצמיים של המטריצה, ומתקיים אחד מבין המקרים הבאים:

1. אם כל הערכים העצמיים של המטריצה חיוביים (מטריצה כזו נקראת מטריצה חיובית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מינימום.
2. אם כל הערכים העצמיים של המטריצה שליליים (מטריצה כזו נקראת מטריצה שלילית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מקסימום.
3. אם קיים למטריצה ערך עצמי חיובי וערך עצמי שלילי, הנקודה היא נקודת אוכף.
4. אם למטריצה קיים ערך עצמי 0 ושאר הערכים עצמיים הם בעלי אותו סימן, לא ניתן לדעת בוודאות בעזרת מבחן זה האם הנקודה היא נקודת מינימום, מקסימום, או אוכף.

נשים לב כי מבחן זה מכליל את הבדיקה עבור פונקציה של משתנה אחד: אם הנגזרת השנייה של הפונקציה חיובית בנקודת קיצון, זוהי נקודת מינימום. אם היא שלילית, זוהי נקודת מקסימום, ואם היא שווה לאפס, לא ניתן לדעת באמצעות מבחן זה האם זוהי נקודת מינימום, מקסימום או נקודת פיתול.

קישורים חיצוניים

• מטריצת הסיאן, באתר MathWorld (באנגלית)