מטריצת סיבוב
מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.
תכונותעריכה
תהי מטריצת סיבוב מסדר . מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:
- המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:
- המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:
- כאשר היא מטריצת היחידה.
- ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית A:
- כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת נגדיר בעזרת כפל מטריצות.
דו-ממדעריכה
בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית , כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית היא:
כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:
ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.
מטריצות סיבוב נפוצות:
תלת-ממדעריכה
- מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- בזווית היא:
- מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- בזווית היא:
- מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- בזווית היא:
כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.
ראו גםעריכה
קישורים חיצונייםעריכה
- מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)