מטריצת סיבוב

מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

תכונות

תהי ${\mathcal {M}}$ מטריצת סיבוב מסדר $\ n\times n$. מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

• המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\mathcal {M}}\mathbf {A} \cdot {\mathcal {M}}\mathbf {B}$

• המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:

${\mathcal {M}}\,{\mathcal {M}}^{-1}={\mathcal {M}}\,{\mathcal {M}}^{\top }={\mathcal {I}}$ כאשר${\mathcal {I}}$ היא מטריצת היחידה.

• ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית A:

${\mathcal {M}}=\exp(\mathbf {A} )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{n}}{n!}}$

כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת $\mathbf {A} ^{n}$ נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו-ממד

סיבוב נגד כיוון השעון של וקטור בזווית θ. כאשר הוקטור היה מיושר בהתחלה עם ציר ה-x.

בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית $\theta$, כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית $\theta$ היא:

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}$

כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:

$R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}$

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה $2\times 2$ אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

מטריצות סיבוב נפוצות:
${\begin{aligned}R(90^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}\\R(180^{\circ })&={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}\\R(270^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

תלת-ממד

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $x$ בזווית $\theta _{x}$ היא:

${\mathcal {R}}_{x}(\theta _{x})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\theta _{x}}&-\sin {\theta _{x}}\\0&\sin {\theta _{x}}&\cos {\theta _{x}}\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-\theta _{x}\\0&\theta _{x}&0\end{bmatrix}}\right)$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $y$ בזווית $\theta _{y}$ היא:

${\mathcal {R}}_{y}(\theta _{y})={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{y}}&0&\sin {\theta _{y}}\\0&1&0\\-\sin {\theta _{y}}&0&\cos {\theta _{y}}\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&\theta _{y}\\0&0&0\\-\theta _{y}&0&0\end{bmatrix}}\right)$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $z$ בזווית $\theta _{z}$ היא:

${\mathcal {R}}_{z}(\theta _{z})={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{z}}&-\sin {\theta _{z}}&0\\\sin {\theta _{z}}&\cos {\theta _{z}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-\theta _{z}&0\\\theta _{z}&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\right)$

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

ראו גם

• מטריצה אורתוגונלית
• זוויות אוילר
• נוסחת הסיבוב של רודריגז
• מטריצות פאולי

קישורים חיצוניים

• מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)